Calcolo differenziale/Funzioni su spazi vettoriali - ordini successivi: differenze tra le versioni

Lo sviluppo in serie della funzione <math>f \circ \mathbf h</math> e della funzione <math>\mathbf f \circ \mathbf h</math>, essendo questaqueste definitadefinite su ''K'', si fa in termini di derivate ordinarie nell'argomento scalare <math>\Delta v</math>:

Questo sviluppo va confrontato con quello che si ottiene in termini multilineari considerando <math>\mathbf h(\Delta v)</math> argomento di f:

:<math>(f \circ \mathbf h)(\Delta v) = f(\mathbf h (\Delta v)) = f(\mathbf x_0) + \Delta v \hat \mathbf v) =

f(\mathbf x_0) + \sum_{k=1}^n {\frac{1}{k!} <DA^kfk(\mathbf x_0), \hat \mathbf v^{\otimes k}> \Delta v^k } + o(|\Delta v|^n) </math>

:<math><\omega, ( \mathbf f \circ \mathbf h)(\Delta v) > = <\omega, \mathbf f (\mathbf h (\Delta v)) >= \mathbf f(\mathbf x_0 + \Delta v \hat \mathbf v) =

<\omega,mathbf f(\mathbf x_0) + \sum_{k=1}^n {\mathbf fA^k(\mathbf x_0)> \hat \mathbf v^{\otimes k}\Delta v^k} + o(|\Delta v|^n)</math>

:<math>D_{\hat \mathbf v}^k f(\mathbf x_0) = k! <DA^kfk(\mathbf x_0), \hat \mathbf v^{\otimes k}></math>

:<math><\omega, D_{\hat \mathbf v}^k \mathbf f(\mathbf x_0)> = k! \, \mathbf A^k (\mathbf x_0) \hat \mathbf v^{\otimes k}</math>