Differenze tra le versioni di "Calcolo differenziale/Funzioni su spazi vettoriali - ordini successivi"

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===Sviluppo nelle derivate direzionali===
 
Lo sviluppo in serie della funzione <math>f \circ \mathbf h</math> e della funzione <math>\mathbf f \circ \mathbf h</math>, essendo questaqueste definitadefinite su ''K'', si fa in termini di derivate ordinarie nell'argomento scalare <math>\Delta v</math>:
 
;funzioni scalari
\mathbf f(\mathbf x_0) + \sum_{k=1}^n {\frac{1}{k!} D_{\hat \mathbf v}^k \mathbf f(\mathbf x_0) \Delta v^k} + o(|\Delta v|^n)</math>
 
Questo sviluppo va confrontato con quello che si ottiene in termini multilineari considerando <math>\mathbf h(\Delta v)</math> argomento di f:
;funzioni scalari
:<math>(f \circ \mathbf h)(\Delta v) = f(\mathbf h (\Delta v)) = f(\mathbf x_0) + \Delta v \hat \mathbf v) =
f(\mathbf x_0) + \sum_{k=1}^n {\frac{1}{k!} <DA^kfk(\mathbf x_0), \hat \mathbf v^{\otimes k}> \Delta v^k } + o(|\Delta v|^n) </math>
;funzioni vettoriali
:<math><\omega, ( \mathbf f \circ \mathbf h)(\Delta v) > = <\omega, \mathbf f (\mathbf h (\Delta v)) >= \mathbf f(\mathbf x_0 + \Delta v \hat \mathbf v) =
<\omega,mathbf f(\mathbf x_0) + \sum_{k=1}^n {\mathbf fA^k(\mathbf x_0)> \hat \mathbf v^{\otimes k}\Delta v^k} + o(|\Delta v|^n)</math>
\sum_{k=1}^n {\frac{1}{k!} <D^k \mathbf f (\mathbf x_0), \omega \otimes \hat \mathbf v^{\otimes k}> \Delta v^k } + o(|\Delta v|^n)</math>
:<math>( \mathbf f \circ \mathbf h)(\Delta v) = \mathbf f (\mathbf h (\Delta v)) =
\mathbf f(\mathbf x_0) +
\sum_{k=1}^n {\frac{1}{k!} <D^k \mathbf f (\mathbf x_0), - \otimes \hat \mathbf v^{\otimes k}> \Delta v^k } + o(|\Delta v|^n)</math>
 
Dal confronto si vede che:
margin-left:8px; margin-right:8px;margin-bottom:15px; text-align:left">
;funzioni scalari
:<math>D_{\hat \mathbf v}^k f(\mathbf x_0) = k! <DA^kfk(\mathbf x_0), \hat \mathbf v^{\otimes k}></math>
;funzioni vettoriali
:<math><\omega, D_{\hat \mathbf v}^k \mathbf f(\mathbf x_0)> = k! \, \mathbf A^k (\mathbf x_0) \hat \mathbf v^{\otimes k}</math>
<D^k \mathbf f (\mathbf x_0), \omega \otimes \hat \mathbf v^{\otimes k}></math>
:<math>D_{\hat \mathbf v}^k \mathbf f(\mathbf x_0) =
<D^k \mathbf f (\mathbf x_0), - \otimes \hat \mathbf v^{\otimes k}></math>
</div>