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Calcolo differenziale/Funzioni su spazi vettoriali - ordini successivi: differenze tra le versioni

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Calcolo differenziale/Funzioni su spazi vettoriali - ordini successivi (modifica)

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==Sviluppo in serie==
 
===TerminiSviluppo in termini multilineari===
 
La generalizzazione dello sviluppo in serie di potenze a funzioni definite su spazi vettoriali è uno sviluppo in una serie di funzioni ''k''-lineari simmetriche avente come argomento la ''k''-pla <math>(\underbrace{\Delta \mathbf x, \cdots, \Delta \mathbf x}_k)</math>:
</div>
 
===Sviluppo nelle derivate direzionali===
===Relazione fra i termini dello sviluppo e il differenziale e la derivata===▼
 
Analogamente a quanto si è fatto con i termini del prim'ordine, si dimostra che il differenziale ''k''-mo, quando calcolato sulla "diagonale" <math>(\underbrace{\Delta \mathbf x, \cdots, \Delta \mathbf x}_k)</math>, è pari a meno di un fattore ''k''! al k-mo termine dello sviluppo della funzione:▼
<div style="float:center; width:85%; padding:15px; background: white; border: 1px solid blue;
margin-left:8px; margin-right:8px;margin-bottom:15px; text-align:left">
;funzioni scalari▼
:<math>d^kf(\mathbf x_0)(\underbrace{\Delta \mathbf x, \cdots, \Delta \mathbf x}_k) =▼
k! \, F^k(\mathbf x_0)(\underbrace{\Delta \mathbf x, \cdots, \Delta \mathbf x}_k)\;</math>▼
;funzioni vettoriali▼
:<math>d^k\mathbf f(\mathbf x_0)(\underbrace{\Delta \mathbf x, \cdots, \Delta \mathbf x}_k) =▼
k! \, \mathbf F^k(\mathbf x_0)(\underbrace{\Delta \mathbf x, \cdots, \Delta \mathbf x}_k) \;</math>▼
</div>
 
Da queste relazioni seguono immediatamente le relazioni analoghe fra la derivata ''k''-ma e il ''k''-mo termine dello sviluppo della funzione:▼
<div style="float:center; width:85%; padding:15px; background: white; border: 1px solid blue;
margin-left:8px; margin-right:8px;margin-bottom:15px; text-align:left">
;funzioni scalari
:<math>D^kf(\mathbf x_0) = k! \, A^k(\mathbf x_0) \;</math>▼
;funzioni vettoriali
:<math>D^k\mathbf f(\mathbf x_0) = k! \, \mathbf A^k(\mathbf x_0) \;</math>
</div>
 
==Derivata direzionale==
 
Lo sviluppo in serie della funzione <math>f \circ \mathbf h</math>, essendo questa definita su ''K'', si fa in termini di derivate ordinarie nell'argomento scalare <math>\Delta v</math>:
</div>
 
▲===Relazione fra i termini dello sviluppo e il differenziale e la derivata===
==Relazioni funzionali e operatori differenziali==
 
▲Analogamente a quanto si è fatto con i termini del prim'ordine, si dimostra che il differenziale ''k''-mo, quando calcolato sulla "diagonale" <math>(\underbrace{\Delta \mathbf x, \cdots, \Delta \mathbf x}_k)</math>, è pari a meno di un fattore ''k''! al k-mo termine dello sviluppo della funzione:
Essendo <math>D_{\hat \mathbf v} = <\hat \mathbf v, \nabla></math> le relazioni fra la derivata direzionale e quella totale possono essere riscritte come relazioni fra operatori funzionali:
;funzioni scalari
:<math><\hat \mathbf v, \nabla>^k f = <D^k f, \hat \mathbf v^{\otimes k}></math>
;funzioni vettoriali
:<math><\omega, <\hat \mathbf v, \nabla>^k \mathbf f> = <\hat \mathbf v, \nabla>^k <\omega, \mathbf f> =
<D^k \mathbf f, \omega \otimes \hat \mathbf v^{\otimes k}></math>
:<math><\hat \mathbf v, \nabla>^k \mathbf f =
<D^k \mathbf f, - \otimes \hat \mathbf v^{\otimes k}></math>
 
D'altra parte si ha:
:<math><\hat \mathbf v, \nabla>^k = <\hat \mathbf v^{\otimes k}, \nabla^{\otimes k}></math>
 
da cui segue:
;funzioni scalari
:<math><\hat \mathbf v^{\otimes k}, \nabla^{\otimes k}f> = <D^k f, \hat \mathbf v^{\otimes k}></math>
;funzioni vettoriali
:<math><\hat \mathbf v^{\otimes k}, \nabla^{\otimes k}><\omega, \mathbf f> =
<\hat \mathbf v^{\otimes k} \otimes \omega, \nabla^{\otimes k} \otimes \mathbf f> =
<D^k \mathbf f, \omega \otimes \hat \mathbf v^{\otimes k}></math>
:<math><\hat \mathbf v^{\otimes k}, \nabla^{\otimes k}> \mathbf f =
<D^k \mathbf f, - \otimes \hat \mathbf v^{\otimes k}></math>
 
Si ha dunque:
<div style="float:center; width:85%; padding:15px; background: white; border: 1px solid blue;
margin-left:8px; margin-right:8px;margin-bottom:15px; text-align:left">
;funzioni scalari
▲:<math>d^kf(\mathbf x_0)(\underbrace{\Delta \mathbf x, \cdots, \Delta \mathbf x}_k) =
:<math>D^k f = \nabla^{\otimes k}f</math>
▲k! \, F^k(\mathbf x_0)(\underbrace{\Delta \mathbf x, \cdots, \Delta \mathbf x}_k)\;</math>
;funzioni vettoriali
:<math>Dd^k \mathbf f(\mathbf = x_0)(\nabla^underbrace{\otimesDelta k}\mathbf x, \otimescdots, \Delta \mathbf fx}_k)^T</math> =
▲:<math>d^k! \, \mathbf fF^k(\mathbf x_0)(\underbrace{\Delta \mathbf x, \cdots, \Delta \mathbf x}_k) =\;</math>
</div>
 
▲Da queste relazioni seguono immediatamente le relazioni analoghe fra la derivata ''k''-ma e il ''k''-mo termine dello sviluppo della funzione:
Usando queste relazioni il differenziale può essere espresso in questo modo:
;funzioni scalari
:<math>d^kf = <\nabla^{\otimes k}f, d\mathbf x^{\otimes k}> = <\nabla,d\mathbf x>^k f</math>
;funzioni vettoriali
:<math>d^k\mathbf f(\mathbf x_0) = <(\nabla^{\otimes k} \otimes \mathbf f)^T, - \otimes d\mathbf x^{\otimes k}>=
<\nabla^{\otimes k},d\mathbf x^{\otimes k}><-, \mathbf f> = <\nabla,d\mathbf x>^k \mathbf f</math>
 
Si può allora introdurre il seguente operatore scalare:
<div style="float:center; width:85%; padding:15px; background: white; border: 1px solid blue;
margin-left:8px; margin-right:8px;margin-bottom:15px; text-align:left">
▲;funzioni scalari
:<math>d^k = <\nabla, d\mathbf x>^k</math>
▲:<math>D^kf(\mathbf x_0) = k! \, A^k(\mathbf x_0) \;</math>
▲;funzioni vettoriali
▲:<math>D^k! \, \mathbf F^kf(\mathbf x_0)(\underbrace{\Delta \mathbf= x,k! \cdots, \Deltamathbf A^k(\mathbf x}_kx_0) \;</math>
</div>
 
Usando questo l'operatore differenziale risulta particolarmente agevole esprimere il ''k''-mo termine dello sviluppo della funzione:
<div style="float:center; width:85%; padding:15px; background: white; border: 1px solid blue;
margin-left:8px; margin-right:8px;margin-bottom:15px; text-align:left">
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