Calcolo differenziale/Funzioni su spazi vettoriali: differenze tra le versioni

D\mathbf f (\mathbf g(\mathbf x_0))D\mathbf g(\mathbf x_0)</math>

 

 

Per ridurre le espressioni ottenute fin qui per <math>df(\mathbf x_0)(\Delta \mathbf x)</math> a delle relazioni funzionali, bisogna - al solito - esprimere &Delta;'''x''' come applicazione della funzione identità, che nel caso di uno spazio vettoriale è l'operatore I tale che '''x'''=I('''x'''). Anche in questo caso si dimostra facilmente che il differenziale di tale operatore coincide con l'operatore stesso, cioè dI('''x'''₀)=I, il quale può essere indicato con d'''x'''. Di conseguenza si ottiene:

(dove il versore <math>\hat \mathbf v</math> è solitamente omesso in quanto sottinteso).

 

 

Eliminata la dipendenza dall'incremento, il punto <math>x_0</math> si può considerare variabile e lo si può eliminare lasciando indicati espressamente i funzionali d''f''/d'''f''' e le funzioni D''f''/D'''f'''. Allora d e D possono essere considerati degli operatori funzionali che agendo sulla funzione ''f''/'''f''' la trasformano in un funzionale o in un'altra funzione.

L'introduzione di tali operatori richiede tuttavia un poco di cautela rispetto a quanto si può fare nel caso monodimensionale.

 

 

Nel caso delle funzioni scalari D''f'' è un campo vettoriale (cioè si ha un vettore D''f''('''x''') definito in ogni punto '''x''' del dominio). Si può allora introdurre un operatore differenziale funzionale che trasformi una funzione scalare in una funzione vettoriale. Poiché il prodotto di un vettore per uno scalare è un vettore, tale operatore può essere considerato un operatore funzionale "vettoriale", e per distinguerlo dalla derivata "scalare" monodimensionale (o da altre derivate "scalari" definibili nel caso multidimensionale, come la derivata direzionale) lo si chiama '''gradiente''' e lo si indica con il simbolo <math>\nabla</math>, detto [[w:Nabla|nabla]] o con l'operatore corrispondente nella notazione di Leibniz:

</div>

 

 

Mentre D''f'' per una funzione scalare è un campo vettoriale (il gradiente di ''f''), per una funzione vettoriale D'''f''' è un campo operatoriale, che viene chiamato '''jacobiano''' di '''f''' e indicato con <math>J_{\mathbf f}</math> o con <math>J\mathbf f</math>. In questo caso un operatore che agisca sulla funzione vettoriale '''f''' restituendo D'''f''' è un operatore che trasforma un campo vettoriale in un campo operatoriale. Tale operatore non può essere ancora l'operatore gradiente, anche perché non è chiaro come si potrebbe riscrivere D'''f''' come "prodotto" di un operatore vettoriale per una funzione vettoriale.