Differenze tra le versioni di "Calcolo differenziale/Funzioni su spazi vettoriali"

Questo conferma che il "prodotto scalare" dell'operatore <math>\nabla</math> con un vettore (o con una funzione vettoriale) si comporta effettivamente come un "operatore scalare", anche quando venga applicato ad una funzione vettoriale.
 
Quanto alla derivata, daibasta passaggi effettuati qui sopra si ricavaosservare che:
:<math>d \mathbf c,f(\mathbf x_0) = <d \mathbf x,\nabla>\mathbf f(\mathbf x_0)></math> =
<d \mathbf x,^T (\nabla><\mathbf c,otimes \mathbf f)(\mathbf x_0)> =
:<math(\nabla><\mathbf c,otimes D\mathbf f)(\mathbf x_0)^T d \mathbf x</math> =
 
da cui segue che:
:<math><\mathbf c, D\mathbf f(\mathbf x_0) d \mathbf x> =
<d \mathbf x,\nabla><\mathbf c, \mathbf f(\mathbf x_0)> =
<d \mathbf x \otimes \mathbf c ,\nabla \otimes \mathbf f(\mathbf x_0)> =
<\mathbf c \otimes d \mathbf x ,(\nabla \otimes \mathbf f(\mathbf x_0))^T> =
<\mathbf c \otimes d \mathbf x ,(\nabla \otimes \mathbf f(\mathbf x_0))^T> =
<\mathbf c, <d \mathbf x,\nabla>\mathbf f(\mathbf x_0)></math>
 
 
per cui anche con le funzioni vettoriali l'operatore che si è scritto formalmente come d=<d \mathbf x, \nabla> si comporta a tutti gli effetti come uno "scalare".
 
Per aggirare questo problema si può tenere conto del fatto che sia il differenziale sia la derivata direzionale, intesi come operatori, sono degli "scalare", e in quanto tali possono essere applicati sia alle funzioni scalari sia a quelle vettoriali. Si ha dunque:
:<math>D\mathbf f(\mathbf x)\hat \mathbf v = (D_{\hat \mathbf v}\mathbf f)(\mathbf x) =
(<\hat \mathbf v, \nabla>\mathbf f)(\mathbf x)</math>
 
ovvero, in termini funzionali:
:<math>D\mathbf f\hat \mathbf v = {\hat \mathbf v}^T \, \nabla \otimes \mathbf f</math>
 
da cui segue:
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margin-left:8px; margin-right:8px;margin-bottom:15px; text-align:left">