Differenze tra le versioni di "Calcolo differenziale/Funzioni su spazi vettoriali"

 
Mentre D''f'' per una funzione scalare è un campo vettoriale (il gradiente di ''f''), per una funzione vettoriale D'''f''' è un campo operatoriale, che viene chiamato '''jacobiano''' di '''f''' e indicato con <math>J_{\mathbf f}</math> o con <math>J\mathbf f</math>. In questo caso un operatore che agisca sulla funzione vettoriale '''f''' restituendo D'''f''' è un operatore che trasforma un campo vettoriale in un campo operatoriale. Tale operatore non può essere ancora l'operatore gradiente, anche perché non è chiaro come si potrebbe riscrivere D'''f''' come "prodotto" di un operatore vettoriale per una funzione vettoriale.
 
Per rendersene conto basta osservare che dato un generico vettore <math>\mathbf c</math> (costante) si ha:
:<math><\mathbf c, D\mathbf f(\mathbf x_0)\delta \mathbf x> =
<\mathbf c^T D\mathbf f(\mathbf x_0),\delta \mathbf x>
<D<\mathbf c, \mathbf f(\mathbf x_0)>,\delta \mathbf x> =
<\nabla<\mathbf c, \mathbf f(\mathbf x_0)>,\delta \mathbf x> =
<\delta \mathbf x,\nabla><\mathbf c, \mathbf f(\mathbf x_0)> =
<\mathbf c, <\delta \mathbf x,\nabla>\mathbf f(\mathbf x_0)>
</math>
 
Per aggirare questo problema si può tenere conto del fatto che sia il differenziale sia la derivata direzionale, intesi come operatori, sono degli "scalare", e in quanto tali possono essere applicati sia alle funzioni scalari sia a quelle vettoriali. Si ha dunque: