Differenze tra le versioni di "Calcolo differenziale/Funzioni su spazi vettoriali"

Mentre D''f'' per una funzione scalare è un campo vettoriale (il gradiente di ''f''), per una funzione vettoriale D'''f''' è un campo operatoriale, che viene chiamato '''jacobiano''' di '''f''' e indicato con <math>J_{\mathbf f}</math> o con <math>J\mathbf f</math>. In questo caso un operatore che agisca sulla funzione vettoriale '''f''' restituendo D'''f''' è un operatore che trasforma un campo vettoriale in un campo operatoriale. Tale operatore non può essere ancora l'operatore gradiente, anche perché non è chiaro come si potrebbe riscrivere D'''f''' come "prodotto" di un operatore vettoriale per una funzione vettoriale.
 
Per aggirare questo problema si può tenere conto del fatto che sia il differenziale sia la derivata direzionale, intesaintesi come operatoreoperatori, èsono undegli "scalare", pere cuiin essa è associata a un operatore differenziale "scalare"quanto chetali puòpossono essere applicatoapplicati sia alle funzioni scalari sia a quelle vettoriali. Si ha dunque:
:<math>D\mathbf f(\mathbf x)\hat \mathbf v = (D_{\hat \mathbf v}\mathbf f)(\mathbf x) =
(<\hat \mathbf v, \nabla>\mathbf f)(\mathbf x)</math>