Calcolo differenziale/Componenti: differenze tra le versioni
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;funzioni scalari
:<math>df(\mathbf x_0)(\Delta \mathbf x) = \sum_{i=1}^n {\nabla_i f \, \Delta x^i}</math>
;funzioni vettoriali
:<math>df_k (\mathbf x_0)(\Delta \mathbf x) = \sum_{i=1}^n {\nabla_i f_k \, \Delta x^i}</math>
Ricordando che il differenziale dell'indentità calcolato in qualunque punto, che si è indicato con <math>d\mathbf x</math>, coincide con l'identità stessa, la sua ''i''-ma componente controvariante è una applicazione che ad ogni vettore associa la sua ''i''-ma componente controvariante:
:<math>dx^i(\Delta \mathbf x) = <e^i,d\mathbf x(\Delta \mathbf x)> = <e^i, \Delta \mathbf x> = \Delta x^i</math>
da cui si vede che la i-ma componente controvariante di <math>d \mathbf x</math> è l'''i''-mo termine della base duale:
:<math>dx^i = <e^i,d\mathbf x> = e^i</math>
Questa relazione, al solito, può essere utilizzata per scrivere la relazione fra il differenziale e la derivata come relazione funzionale:
;funzioni scalari
:<math>df(\mathbf x_0) = \sum_{i=1}^n {\nabla_i f \, dx^i}</math>
;funzioni vettoriali
:<math>df_k (\mathbf x_0)(\Delta \mathbf x) = \sum_{i=1}^n {\nabla_i f_k \, dx^i}</math>
==Differenziali e derivate di ordine superiore==
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