Calcolo differenziale/Introduzione: differenze tra le versioni
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Basando l'impianto espositivo sul concetto di differenziale, altri concetti del calcolo differenziale - in particolare quello di '''derivata''' - vengono definiti a partire da questo. Ciò costituisce un notevole vantaggio, in quanto il concetto di derivata non è facilmente generalizzabile a degli spazi vettoriali, come si evince dalla semplice considerazione che in uno spazio vettoriale non è definito un rapporto fra vettori, per cui non è chiaro come generalizzare il concetto di "rapporto incrementale", di cui la derivata è il limite. Invece, come si è detto, il differenziale può essere definito in qualunque spazio vettoriale in cui si disponga di una definizione di limite.
Un altro vantaggio di questa impostazione è che molte dimostrazioni, se condotte a partire dal concetto di differenziale (che in quanto applicazione lineare può essere trattata in modo puramente algebrico), risultano particolarmente semplici ed immediate. Questo testo, tuttavia, si propone principalmente di fornire dei risultati, per cui le dimostrazioni non vengono date in modo del tutto rigoroso. In particolare non ci si premura di elencare per ogni teorema tutte le ipotesi necessarie per la sua dimostrazione, e ci si limita a mostrare in linea di massima come procede la dimostrazione a partire dalla definizione di differenziale, dando per scontato che ogni volta siano soddisfatti tutti i requisiti necessari per compiere i vari passaggi (funzioni sufficientemente regolari, eccetera). Così facendo si vede chiaramente la continuità e la generalizzazione fra il caso monodimensionale e quello multidimensionale, e quando a livello di componenti compaiono dei termini che non trovano il corrispondente in ambito monodimensionale (come ad esempio quello che compare nella "differenziazione assoluta" delle funzioni vettoriali) tali termini diventano facilmente comprensibili in quanto "effetti della proiezione su una base" di una relazione vettoriale che invece ha un suo corrispondente evidente in ambito monodimensionale.
Si giustifica in quest'ottica anche il ruolo marginale dato alla trattazione dei casi notevoli rispetto ai testi usuali di natura didattica. Ad esempio in letteratura dopo aver definito la derivata e il differenziale si procede al calcolo di tali grandezze per tutte le funzioni notevoli, dopodiché alcuni imporanti teoremi - come quello dello sviluppo in serie di Taylor - vengono dimostrati ricorrendo a questi casi notevoli. Invece in questo testo, a costo di rendere la dimostrazione più laboriosa e lasciare la sua generalizzazione al lettore, anche in questi casi si è preferito mostrare come tale dimostrazione può essere condotta a partire unicamente dalla definizione di differenziale. Nel caso dello sviluppo in serie di Taylor ciò risulta particolarmente utile per comprendere il nesso fra i differenziali di ordine superiore e i termini multilineari dell'incremento di una funzione rispetto l'incremento della variabile.
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