Calcolo differenziale/Introduzione: differenze tra le versioni
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Un altro vantaggio di questa impostazione è che molte dimostrazioni, se condotte a partire dal concetto di differenziale (che in quanto applicazione lineare può essere trattata in modo puramente algebrico), risultano particolarmente semplici ed immediate. Questo testo, tuttavia, si propone principalmente di fornire dei risultati, per cui le dimostrazioni non vengono date in modo del tutto rigoroso. In particolare non ci si premura di elencare per ogni teorema tutte le ipotesi necessarie per la sua dimostrazione, e ci si limita a mostrare in linea di massima come procede la dimostrazione a partire dalla definizione di differenziale, dando per scontato che ogni volta siano soddisfatti tutti i requisiti necessari per compiere i vari passaggi (funzioni sufficientemente regolari, eccetera).
Si giustifica in quest'ottica anche il ruolo marginale dato alla trattazione dei casi notevoli rispetto ai testi usuali di natura didattica. Ad esempio in letteratura dopo aver definito la derivata e il differenziale si procede al calcolo di tali grandezze per tutte le funzioni notevoli, dopodiché alcuni imporanti teoremi - come quello dello sviluppo in serie di Taylor - vengono dimostrati ricorrendo a questi casi notevoli. Invece in questo testo, a costo di rendere la dimostrazione più laboriosa e lasciare la sua generalizzazione al lettore, anche in questi casi si è preferito mostrare come tale dimostrazione può essere condotta a partire unicamente dalla definizione di differenziale. Nel caso dello sviluppo in serie di Taylor ciò risulta particolarmente utile per comprendere il nesso fra i differenziali di ordine superiore e i termini multilineari dell'incremento di una funzione rispetto l'incremento della variabile.
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