Calcolo differenziale/Introduzione: differenze tra le versioni
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Questo testo si propone di esporre il calcolo differenziale sugli spazi vettoriali basando l'impianto espositivo e dimostrativo sul concetto di '''differenziale''' di una funzione, che in generale può essere definito come la [[w:Applicazione lineare|parte lineare]] (detta anche '''parte principale''') della variazione della funzione nell'intorno di un punto.
Questa definizione generica può essere resa in modo rigoroso non appena si sappia definire in modo rigoroso il concetto di "parte lineare" di una funzione. Intuitivamente la parte lineare di una funzione è la funzione lineare che "meglio approssima" la funzione data, e tale intuizione può essere resa geometricamente dicendo che si tratta di approssimare il grafico della funzione con una figura "piatta" (retta, piano, iperpiano). Per formalizzare tale concetto è
Basando l'impianto espositivo sul concetto di differenziale, altri concetti del calcolo differenziale - in particolare quello di '''derivata''' - vengono definiti a partire da questo. Ciò costituisce un notevole vantaggio, in quanto il concetto di derivata non è facilmente generalizzabile a degli spazi vettoriali, come si evince dalla semplice considerazione che in uno spazio vettoriale non è definito un rapporto fra vettori, per cui non è chiaro come generalizzare il concetto di "rapporto incrementale", di cui la derivata è il limite. Invece, come si è detto, il differenziale può essere definito in qualunque spazio vettoriale in cui si disponga di una definizione di limite.
Un altro vantaggio di questa impostazione è che molte dimostrazioni, se condotte a partire dal concetto di differenziale (che in quanto applicazione lineare può essere trattata in modo puramente algebrico), risultano particolarmente semplici ed immediate. Questo testo, tuttavia, si propone principalmente di fornire dei risultati, per cui le dimostrazioni non vengono date in modo del tutto rigoroso. In particolare non ci si premura di elencare per ogni teorema tutte le ipotesi necessarie per la sua dimostrazione, e ci si limita a mostrare in linea di massima come procede la dimostrazione a partire dalla definizione di differenziale, dando per scontato che ogni volta siano soddisfatti tutti i requisiti necessari per compiere i vari passaggi (funzioni sufficientemente regolari, eccetera).
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