Calcolo differenziale/Funzioni su R: differenze tra le versioni

 
Fino a qui si è scritta esplicitamente l'espressione del differenziale calcolato in tutti i suoi argomenti, cioè d''f''(''x''<sub>0</sub>)(&Delta;''x''), ma non si è scritta una espressione per la funzione d''f''(''x''<sub>0</sub>) di per sé. Ciò può essere ottenuto immediatamente usando la funzione identità ''i'', cioè la funzione tale che ''i''(''x'')=''x'', e quindi, in particolare, ''i''(&Delta;''x'')=&Delta;''x''. Usando tale funzione si ha:
:<math>df (x_0)(\Delta x) = Df(x_0) i(\Delta x) \;</math>
da cui si ricava una relazione puramente funzionale:
:<math>df(x_0) = Df(x_0) i \;</math>
 
Questa relazione può essere scritta in una forma più suggestiva e più vicina alla notazione originaria usata da Leibniz per il calcolo infinitesimale se si osserva che il differenziale della funzione identità è la funzione identità stessa. Si ha infatti: infatti:
:<math>\Delta i(x_0)(\Delta x) := i(x_0 + \Delta x) - i(x_0) = \Delta x \;</math>
e siccome la differenza della funzione ''i'' è lineare nel suo argomento essa coincide anche con il differenziale:
:<math>di(x_0)(\Delta x) = \Delta x = i(\Delta x) \;</math>
da cui si ricava la seguente relazione funzionale:
:<math>di(x_0) = i \;</math>
 
Dal momento che il differenziale della funzione identità di fatto non dipende da ''x''<sub>0</sub> e che ''i''(''x'')=''x'', si può usare la variabile per indicare la funzione e scrivere d''x'' al posto di d''i''(''x''<sub>0</sub>), sicché nella espressione del differenziale si può sostituire d''x'' alla funzione ''i'':