Calcolo differenziale/Funzioni su R: differenze tra le versioni

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:<math>\Delta f(x_0, \Delta x) := f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) \;</math>
 
I due argomenti di questa funzione possono essere studiati separatamente, considerando che una funzione di due argomenti può essere associata ad un [[w:Applicazione pariziale|funzionale]] che si applica al primo argomento restituendo una funzione che a sua volta si applica al secondo argomento. In questo caso &Delta;''f'' può essere pensato anche come un funzionale, che calcolato nel punto ''x''<sub>0</sub> restituisce una funzione &Delta;''f'' di &Delta;''x'' tale che:
:<math>\Delta f(x_0) : \R \to \R</math>
:<math>\Delta f(x_0) : \Delta x \mapsto \Delta f(x_0)(\Delta x) := f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)</math>
 
Se la funzione ''f'' è continua, allora ''f''(''x''<sub>0</sub> + &Delta; ''x'') tende a ''f''(''x''<sub>0</sub>) quando &Delta;''x'' tende a zero. Ma allora la funzione &Delta;''f''(x<sub>0</sub>) tende a 0 quando &Delta;''x'' tende a 0, per cui tale funzione è un [[w:Stima asintotica|infinitesimo]]. In quanto tale può essere approssimata con altre funzioni che risultino ad essa equivalenti in quanto infinitesimi. In generale due funzioni infinitesime ''f'' e ''g'' in un punto x<sub>0</sub> sono equivalenti se il limite del loro rapporto tende a 1, il che è come dire che la loro differenza è un infinitesimo di ordine superiore a quello di entrambe, cioè una funzione che tende a 0 più rapidamente di ''f'' e ''g''. Nel caso della funzione &Delta;''f''(x<sub>0</sub>) per ottenere il differenziale occorre trovare una funzione lineare che sia equivalente alla &Delta;''f''(x<sub>0</sub>) a meno di un infinitesimo di ordine superiore a &Delta;''x'' cioè:
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