Calcolo differenziale/Funzioni su R: differenze tra le versioni

Contenuto cancellato Contenuto aggiunto
Diablo (discussione | contributi)
cat ancora non creata
Nessun oggetto della modifica
Riga 1:
===Differenziale di una funzione reale di variabile reale===
Prima di passare alla definizione formale più generale, è utile considerare il caso più semplice delle funzioni reali di una variaible reale, per fissare alcuni concetti che verranno poi estesi al caso generale in una forma più astratta.
 
===Differenziale di una funzione reale di variabile reale===
 
Si consideri una generica funzione ''f'' definita da <math>\R</math> a <math>\R</math>. Si chiama '''differenza''' (o '''incremento''') della funzione ''f'' fra ''x''<sub>0</sub> e ''x'', e si indica con &Delta;''f'', la differenza fra i valori che la funzione assume nei punti ''x''<sub>0</sub> e ''x''. Tale differenza è a sua volta una funzione di due argomenti, che possono essere i due valori ''x''<sub>0</sub> e ''x'' dell'argomento, oppure uno dei punti, ad esempio ''x''<sub>0</sub>, unitamente alla differenza fra ''x''<sub>0</sub> e ''x'', che viene solitamente indicata con <math>\Delta x</math>. Dunque si ha:
Line 16 ⟶ 14:
</div>
 
===Riduzione del differenziale a un prodotto: la derivata===
 
Una funzione lineare da <math>\R</math> a <math>\R</math> può sempre essere espressa come il prodotto di una costante per l'argomento. Dunque il differenziale nel punto ''x''<sub>0</sub> può essere espresso come il prodotto di una costante (che dipenderà da ''x''<sub>0</sub>) per &Delta;''x'':
Line 31 ⟶ 29:
che in seguito potrà essere utilizzata come definizione di derivata per generalizzare il concetto di derivata a partire dalla generalizzazione del concetto di differenziale; in questa relazione infatti non si fa uso di rapporti, ma solo di moltiplicazioni.
 
===Relazione funzionale, operatori funzionali e notazione di Leibniz===
 
Fino a qui si è scritta esplicitamente l'espressione del differenziale calcolato in tutti i suoi argomenti, cioè d''f''(''x''<sub>0</sub>)(&Delta;''x''), ma non si è scritta una espressione per la funzione d''f''(''x''<sub>0</sub>) di per sé. Ciò può essere ottenuto immediatamente usando la funzione identità ''i'', cioè la funzione tale che ''i''(''x'')=''x'', e quindi, in particolare, ''i''(&Delta;''x'')=&Delta;''x''. Usando tale funzione si ha:
Line 72 ⟶ 70:
:<math>(Df)(x) = \left ( \frac{d}{dx} f \right )(x) = \frac{df}{dx}(x) = \frac{(df)(x)}{dx} \;</math>
 
===Funzioni vettoriali di variabili reali===
 
Per le funzioni vettoriali di una variabile reale le definzioni e anche le principali relazioni restano sostanzialmente immutate.