Meccanica quantistica/Equazione di Schrödinger

Equazione di Schrödinger

La funzione d'onda di una particella in un campo esterno $U(\mathbf {r} )$ soddisfa l'equazione di Schrödinger:

$i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +U(\mathbf {r} )\Psi$

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Moto libero

Funzione d'onda di una particella libera con impulso $\mathbf {p}$ ed energia ${\mathcal {E}}$:

$\Psi =\mathrm {cost.} \times \exp \left({\frac {i}{\hbar }}(\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} -{\mathcal {E}}t)\right)$

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Buca di potenziale

Livelli energetici di una particella in una buca di potenziale di larghezza $a$ e di altezza infinita:

${\mathcal {E}}_{n}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\pi ^{2}{\frac {n^{2}}{a^{2}}}\qquad (n=1,2,3,...)$

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Funzioni d'onda degli stati stazionari:

$\psi _{n}(x)=\mathrm {cost.} \times \sin {\frac {n\pi x}{a}}\qquad (0<x<a)$

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