|
:8)
===continuità===
<math>\ a):\qquad definizioni</math>
[[Categoria:Analisi matematica|Limiti -continuità-serie]] ▼1) Una funzione '''f(P)''' definita in un campo '''C''' a una o più dimensioni si dice continua in <math>\ P_{0}</math> quando si ha:
::::::::<math>\lim_{P\to P_{0}}f(P)=f(P_{0})</math>
cioè quando, dato un numero <math>\ \epsilon</math> arbitrario, esiste un intorno di <math>\ P_{0}</math> tale che , qualunque sia '''P''' interno ad esso, si ha:
::::::::<math>\ |f(P)-f(P_{0})| <\ \varepsilon</math>
2) Una funzione continua in ogni punto '''P''' di un campo '''C''', in cui è definita, si dice ''continua'' in '''C'''.
3) Una funzione continua in un campo '''C''' ad eccezione che in un numero finito di punti si dice ''generalmente continua'' in '''C'''.
4) Una funzione continua in un campo '''C''' ad eccezione che in un insieme di punti ''rinchiudibile'', cioè tele che esista un numero finito di campi elementari, la somma delle cui misure si possa rendere piccola a piacere, si dice ''continua quasi dappertutto''.
<sub></sub>===serie numeriche===
<math>a)\qquad definizioni.</math>
Data la serie: <math>\ u_{1}+u_{2}+....+u_{n}+...</math> e posto:
:<math>\ S_{1}=u_{1}, S_{2}=u_{1}+u_{2}, S_{3}=u_{1}+u_{2}+u_{3},...S_{n}=u_{1}+u_{2}+u_{3}+...+u_{n},</math>
possono presentarsi tre casi:
1) lim '''S<sub>n</sub>=S''' ''finito,'' nel qual caso la serie è convergente;
2) lim '''S<sub>n</sub>=∞''', nel qual caso la serie è divergente;
3) lim '''S<sub>n</sub>''' ''non esiste'', nel qual caso la serie è indeterminata.
Ne promo caso il numero '''S''' si dice '' somma della serie''.
===serie di funzioni===
'''a)''' Data una serie di funzioni:
::::<math>\ f_{1}(x)+f_{2}(x)+....+f_{n}(x)+...</math>
si dice che essa èuniformemente convergente in un intervallo '''(a,b)''', quando, dato un <math>\ \epsilon</math> arbitrario, esiste un indice <math>\bar n</math> tale che , essendo <math>\ n>\bar n</math> e qualunque sia '''x''' in '''(a,b)''' si ha:
:::::::::::::<math>\ |R_{n}(x)|\le\epsilon.</math>
Se in un intervallo '''(a,b)''' si ha: <math>\ |f_{n}(x)|\le \alpha_{n},</math> essendo <math>\sum_{}^{}\alpha_{n}</math> una serie di numeri positivi convergente, la serie <math>\sum_{}^{}f_{n}(x)</math> è uniformemente convergente in '''(a,b)'''.
'''b)''' Una serie di funzioni continue unuformemente convergente in un intervallo '''(a,b)''' è una funzione continua in '''(a,b)'''.
'''c'''
'''d'''
'''e'''
▲[[Categoria:Analisi matematica|Limiti-continuità-serie]]
| 