Elementi di Euclide/Libro I-Assiomi: differenze tra le versioni
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== Assioma 3==
<div style="float:center; width:85%; padding:15px; background: #f5f8ff; border: 2px solid #C6E4F2; margin-left:8px; margin-right:8px;margin-bottom:15px; text-align:left">
''' Et se da cose equali seranno tolte cose equali, quelle cose, che resteranno, seranno equali.'''
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[[Immagine:Tartaglia018r_a.png |didascalia|left]]
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Dobbiamo smettere di essere troppo fedeli a Tartaglia quando chiama i segmenti coi nomi dei loro estremi. Se prendiamo il vizio di indicare i punti con le lettere minuscole rischiamo di fare delle gran brutte figure in giro per il mondo (tuttavia, se proprio ci scappasse questo errore, ricordiamoci di citare la nostra autorevole fonte: potrebbe fare la differenza fra una sprezzante alzata di sopracciglio e un'occhiata di ammirazione). Ad ogni modo, per fissare le buone abitudini, da ora innanzi noi scriveremo maiuscole le lettere che rappresentano punti anche se sul disegno sono minuscole.
La descrizione risultante sarà pertanto come segue:
* AE e CF sono segmenti uguali fra loro;
* anche BE e DF sono segmenti uguali fra loro ma non sono segmenti autonomi, sono parte dei segmenti sopraindicati;
* se a ciascuno dei primi due segmenti sottraiamo quella sua parte indicata al secondo punto, otteniamo ancora due segmenti uguali
Possiamo riscrivere lo stesso concetto nel nostro compattissimo linguaggio:
* (AE = CF)
* (BE = DF)
* (AE - BE) ∧ (CF - DF)→(AB = CD)
N.B.: abbiamo dato per scontato che l'idea di "sottrarre" si può rendere con il simbolo "-"
=== Assioma 3 bis ===
<div style="float:center; width:85%; padding:15px; background: #f5f8ff; border: 2px solid #C6E4F2; margin-left:8px; margin-right:8px;margin-bottom:15px; text-align:left">
''' Et se da cose non equali tu leuarai cose equali, li rimanenti seranno inequali.'''
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[[Immagine:Tartaglia018r_b.png |didascalia|left]]
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In questo caso il disegno può essere descritto come segue:
* AB e CD sono segmenti diversi tra loro, tali che AB è maggiore di CD;
* viceversa BE e DF sono uguali fra loro ma non sono segmenti autonomi: sono parte dei segmenti sopraindicati;
* se a ciascuno dei primi due segmenti sottraiamo quella sua parte indicata al secondo punto, otteniamo ancora due segmenti diversi tra loro e tali che il primo sia maggiore del secondo.
Possiamo riscrivere lo stesso concetto nel nostro compattissimo linguaggio:
* (AB > CD)
* (BE = DF)
* (AB - BE) ∧ (CD - DF)→(AE > CF)
N.B.: Abbiamo aggiunto un ulteriore simbolo alla nostra collezione di scorciatoie internazionali:
abbiamo aderito alla convenzione in base alla quale l'idea di "essere maggiore" si può rendere con il simbolo ">".
=== Assioma 3 ter ===
<div style="float:center; width:85%; padding:15px; background: #f5f8ff; border: 2px solid #C6E4F2; margin-left:8px; margin-right:8px;margin-bottom:15px; text-align:left">
''' Et se a cose inegual tu aggiongerai cose equali, li resultanti seranno inequali.'''
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Per esemplificare questo assioma (il quinto assioma, secondo Tartaglia) sfruttiamo lo stesso disegno che è tornato utile nel precedente e la descrizione che ne risulta è la seguente:
* AE e CF sono segmenti diversi tra loro e sono tali che AE è maggiore di CF;
* viceversa BE e DF sono segmenti uguali fra loro ma non sono segmenti autonomi: sono parte dei segmenti sopraindicati;
* se a ciascuno dei primi due segmenti aggiungessimo quella sua parte indicata al secondo punto otterremmo ancora due segmenti diversi tra loro e tali che il primo sia maggiore del secondo.
Possiamo riscrivere lo stesso concetto nel nostro compattissimo linguaggio:
* (AE > CF)
* (BE = DF)
* (AE + BE) ∧ (CF + DF)→(AB > CD)
=== Assioma 3 quater ===
<div style="float:center; width:85%; padding:15px; background: #f5f8ff; border: 2px solid #C6E4F2; margin-left:8px; margin-right:8px;margin-bottom:15px; text-align:left">
''' Se due cose seranno doppie a una medesima cosa, quelle medesime seranno fra loro equali.'''
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[[Immagine:Tartaglia018v_a.png |didascalia|left]]
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La rappresentazione di questo assioma si potrebbe descrivere come segue:
* il segmento AB è esattamente doppio (lungo due volte tanto) rispetto al segmento ''c'';
* anche il segmento DE lo è;
* se ne conclude che il segmento AB ed il segmento DE sono ugualmente lunghi .
Procediamo con la solita traduzione in LIC (Linguaggio Compattissimo & Internazionale - la codifica è nostra):
* AB = 2c;
* DE = 2c;
* (AB = 2c) ∧ (DE = 2c)→ (AB = DE)
N.B.: Ecco un ulteriore simbolo da aggiungere alla collezione. Abbiamo infatti aderito alla convenzione in base alla quale l'idea di "essere due volte tanto" si può rendere con il simbolo "2".
=== Assioma 3 penta ===
<div style="float:center; width:85%; padding:15px; background: #f5f8ff; border: 2px solid #C6E4F2; margin-left:8px; margin-right:8px;margin-bottom:15px; text-align:left">
''' Se seranno due cose dellequale una e l'altra sia la mettà di una medesima cosa una e l'altra di quelle serà equale all'altra.'''
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[[Immagine:Tartaglia018v_b.png |didascalia|left]]
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Questo assioma (in effetti l'assioma 8 di Tartaglia) è esattamente inverso al precedente e può essere descritto in modo analogo:
* il segmento ''a'' è esattamente la metà (deve essere diviso in due) rispetto al segmento ''c'';
* anche il segmento ''b'' lo è;
* se ne conclude che il segmento ''a'' ed il segmento ''b'' sono ugualmente lunghi .
Procediamo con la solita traduzione in LIC:
* ''a = ½c'';
* ''b = ½c'';
* ''(a = ½c) ∧ (b = ½c)→ (a = b)''.
N.B.: Questa volta abbiamo aderito alla convenzione in base alla quale l'idea di "essere la metà" si può rendere con il simbolo "½".
Come il Postulato 5 bis, anche gli Assiomi 3bis, 3ter, 3quater e 3penta sono stati trascurati dalla versione di riferimento per gli Elementi. Non sono proposizioni veramente innovative bensì casi particolari degli assiomi 2 e 3, che sono invece proposizioni insostituibili e convincenti.
Quelli sì che sono dei veri Assiomi!
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