Analisi matematica/Sistemi lineari: differenze tra le versioni
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==Sistemi lineari==
=== n equazioni in '''n''' incognite non omogenee:===
::<math>\ sistema\qquad \begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+...+a_{1n}x_{n}=k_{1}\\a_{21}x_{2}+a_{22}x_{2}+...+a_{2n}x_{n}=k_{2}\\..........\\a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+...+a_{nn}x_{n}=k_{n}\end{cases}</math>
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Il sistema è ''determinato'' se <math>\ D\ne 0;</math> il sistema è ''impossibile'' se '''D=0''' e qualche <math>\ D_{r}\ne 0;</math> se infine <math>\ D=D_{1}=...=D_{n}=0,</math> il sistema dato è ''indeterminato'' o ''impossibile.''
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::<math>\ sistema\qquad \begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+...+a_{1n}x(n)=k_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+...+a_{2n}x_{n}=k_{2}\\...........\\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+...+a_{mn}x_{n}=k_{m}\end{cases}</math>.
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::'''''soluzione''''': Se la caratteristica è '''r''', si considerano '''r''' equazioni in '''r''' incognite in modo che il loro determinante sia <math>\ \ne 0</math>, allora, assegnando alle residue '''''n-r''''' incognite valori arbitrari, si risolve il sistema con la regola di Cramer.
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::::sistema<math>:\qquad\begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+...+a_{1n}x_{n}=0\\a_{21}x{1}+a_{22}x_{2}+...+a_{2n}x_{n}=0\\...............\\a_{n1}x{1}+a_{n2}x_{2}+...+a_{nn}x_{n}=0\end{cases}</math>
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'''''soluzione''''': Se '''r''' è la caratteristica, per la ricerca delle soluzioni si procede come nel caso '''B'''.
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:::sistema<math>:\qquad\begin{cases}a_{11}x_{1}+....+a_{1n}x_{n}=0\\.............\\a_{m1}x_{1}+....a_{mn}x_{n}=0\end{cases}</math>
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Se in particolare la caratteristica è '''n-1''', le incognite risultano proporzionali ai minori di ordine '''n-1''': A<sub>1</sub>, A<sub>2</sub>, ...A<sub>n</sub>, che figurano nella matrice formata dalle '''n-1''' equazioni indipendenti; precisamente si ha: '''x_{i}=(-1)<sup>{i-1}</sup>ρA<sub>i</sub>''', essendo A<sub>i</sub> il minore ottenuto sopprimendo la colonna '''i<sup>ma</sup>''' e '''ρ''' un fattore di proporzionalità.
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Per tali sistemi si procede in generale col metodo di eliminazione cercando di ottenere una risolvente ad una sola incognita, risolta la quale si possono calcolare le altre incognite con successive sostituzioni.
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