Differenze tra le versioni di "Analisi matematica/Sistemi lineari"

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==Sistemi lineari==
 
=== n equazioni in '''n''' incognite non omogenee:===
 
::<math>\ sistema\qquad \begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+...+a_{1n}x_{n}=k_{1}\\a_{21}x_{2}+a_{22}x_{2}+...+a_{2n}x_{n}=k_{2}\\..........\\a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+...+a_{nn}x_{n}=k_{n}\end{cases}</math>
 
Il sistema è ''determinato'' se <math>\ D\ne 0;</math> il sistema è ''impossibile'' se '''D=0''' e qualche <math>\ D_{r}\ne 0;</math> se infine <math>\ D=D_{1}=...=D_{n}=0,</math> il sistema dato è ''indeterminato'' o ''impossibile.''
 
===B) m equazioni in n incognite non omogenee:===
 
::<math>\ sistema\qquad \begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+...+a_{1n}x(n)=k_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+...+a_{2n}x_{n}=k_{2}\\...........\\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+...+a_{mn}x_{n}=k_{m}\end{cases}</math>.
::'''''soluzione''''': Se la caratteristica è '''r''', si considerano '''r''' equazioni in '''r''' incognite in modo che il loro determinante sia <math>\ \ne 0</math>, allora, assegnando alle residue '''''n-r''''' incognite valori arbitrari, si risolve il sistema con la regola di Cramer.
 
===C) n equazioni lineari omogenee in n incognite:===
 
::::sistema<math>:\qquad\begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+...+a_{1n}x_{n}=0\\a_{21}x{1}+a_{22}x_{2}+...+a_{2n}x_{n}=0\\...............\\a_{n1}x{1}+a_{n2}x_{2}+...+a_{nn}x_{n}=0\end{cases}</math>
'''''soluzione''''': Se '''r''' è la caratteristica, per la ricerca delle soluzioni si procede come nel caso '''B'''.
 
===D m equazioni lineari omogenee in n incognite:===
 
:::sistema<math>:\qquad\begin{cases}a_{11}x_{1}+....+a_{1n}x_{n}=0\\.............\\a_{m1}x_{1}+....a_{mn}x_{n}=0\end{cases}</math>
Se in particolare la caratteristica è '''n-1''', le incognite risultano proporzionali ai minori di ordine '''n-1''': A<sub>1</sub>, A<sub>2</sub>, ...A<sub>n</sub>, che figurano nella matrice formata dalle '''n-1''' equazioni indipendenti; precisamente si ha: '''x_{i}=(-1)<sup>{i-1}</sup>ρA<sub>i</sub>''', essendo A<sub>i</sub> il minore ottenuto sopprimendo la colonna '''i<sup>ma</sup>''' e '''ρ''' un fattore di proporzionalità.
 
===E) sistemi non lineari===
 
Per tali sistemi si procede in generale col metodo di eliminazione cercando di ottenere una risolvente ad una sola incognita, risolta la quale si possono calcolare le altre incognite con successive sostituzioni.