Analisi matematica I/Limite/1: differenze tra le versioni

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#<math>\lim_{x \to x_0}{f(x) \over g(x)} = {l_1 \over l_2} \qquad \mbox{se }l_2 \ne 0 \!</math>
}}
 
È evidente la validità dei [[teorema|teoremi]] per valori di <math>\R\!</math> ([[numeri reali]]), invece per elementi appartenenti a <math>\R^*\!</math> (in particolare per i casi <math>\pm\infty\!</math>) perdono di significato e quindi necessitiamo di altri [[teorema|teoremi]]. Di seguito riportiamo sinteticamente le regole di calcolo fondamentali per questi casi. Ma come vedremo avremo a che fare con nuove difficoltà che subito risolveremo.
 
{{Matematica voce|Teorema|Operazioni con i limiti|
Sia <math>f: X_f \subseteq \R \to \R,\,g: X_g \subseteq \R \to \R,\,X_f \cap X_g \ne \varnothing \!</math> e <math>x_0 \!</math> un [[punto di accumulazione]] per <math>X_f,\,X_g \!</math>.
 
Se
:<math>\exists \lim_{x \to x_0}f(x),\,\exists \lim_{x \to x_0}g(x) = l \mbox{ (finito) e }c\in\R\!</math>
allora
#<math>f(x)\to \pm\infty,\,c>0\implies\lim_{x \to x_0}(c \cdot f(x)) = \pm\infty \!</math>
#<math>f(x)\to \pm\infty,\,c<0\implies\lim_{x \to x_0}(c \cdot f(x)) = \mp\infty \!</math>
#<math>f(x)\to \pm\infty\implies\lim_{x \to x_0}(f(x) + g(x)) = \pm\infty \!</math>
#<math>f(x)\to \pm\infty\implies\lim_{x \to x_0}(f(x) - g(x)) = \pm\infty \!</math>
#<math>f(x)\to \pm\infty\implies\lim_{x \to x_0}\frac{1}{f(x)} = 0^\pm \!</math>
#<math>f(x)\to 0^\pm\implies\lim_{x \to x_0}\frac{1}{f(x)} = \pm\infty \!</math>
#<math>f(x)\to \pm\infty,\,l>0\implies\lim_{x \to x_0}(g(x) \cdot f(x)) = \pm\infty \!</math>
#<math>f(x)\to \pm\infty,\,l<0\implies\lim_{x \to x_0}(g(x) \cdot f(x)) = \mp\infty \!</math>
}}
 
Questo [[teorema]] giustifica l'utilizzo di scritture come:
*<math>l\cdot\pm\infty = \pm\infty\!</math>
*<math>\pm\infty + l = \pm\infty\!</math>
*<math>+\infty + \infty = + \infty\!</math>
*<math>+\infty\cdot\pm\infty = \pm\infty\!</math> (seguendo la regola dei segni convenzionale)
*<math>\frac{l}{\pm\infty} = 0^\pm \!</math>
Casi mancanti all'elenco precendete conducono ad esrepssioni del tipo:
*<math>+\infty-\infty\!</math>
*<math>0\cdot\pm\infty\!</math>
*<math>\frac{\pm\infty}{\pm\infty}\!</math>
*<math>\frac{0}{0}\!</math>
Per questi casi si rimanda alla sezione successiva '''Forme di indecisione'''.
 
==== Dimostrazione ====