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Analisi matematica: differenze tra le versioni

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Questo volume intende essere un quadro sinottico contenente elementi di richiamo di analisi '''algebrica e infintesimaleinfinitesimale''' necessari per lo svolgimento di esercizi. ▼
Per evidenziarne l'intento vi sono anche riportati alcuni esercizi quali inserti nel sinottico.▼
 
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*Concetti introduttivi
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▲Questo volume intende essere un quadro sinottico contenente elementi di richiamo di analisi '''algebrica e infintesimale''' necessari per lo svolgimento di esercizi.
▲Per evidenziarne l'intento vi sono anche riportati alcuni esercizi quali inserti nel sinottico.
 
 
 
==ANALISI INFINITESIMALE==
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
===ESEMPI DI CALCOLO DI INTEGRALI DEFINITI===
 
===INTEGRALI GENERALIZZATI===
===ESEMPI DI INTEGRALI GENERALIZZATI===
===INTEGRALI DEFINITI DIPENDENTI DA UN PARAMETRO===
:1) '''''con limiti fissi:'''''
 
::<math>a):\qquad \ F(x)=\int_{c}^{d}f(x,y)\ dy;\qquad b):\qquad \Phi(y)=\int_{a}^{b}f(x,y)\ dx</math>
 
Se <math>\ f(x,y)</math> è continua ed ammette le derivate parziali prime finite e continue in un rettangolo <math>\ R</math> definito dalle limitazioni: <math>a\le x\le b</math>, <math>c\le y\le d</math>, anche le funzioni <math>\ F(x)</math> e <math>\ \Phi(y)</math> sono continue e derivabili rispettivamente in <math>\ (c,d)</math> e <math>\ (a,b) </math> e si ha:
 
::<math>\ {dF(x)\over dx}=\int_{c}^{d}{\partial f\over\partial x}dy ;\qquad {d\Phi(y)\over dy}=\int_{a}^{b}{\partial f\over\partial y}dx ;</math>
 
 
[regola di derivazione sotto il segno].
 
:2) '''''con limiti variabili''''':
 
::<math>a)\qquad F(x)=\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)}f(x,y)dy;\qquad b)\qquad \Phi(y)=\int_{\gamma(y)}^{\delta(y)}f(x,y)dx</math>
 
Se <math>\ f(x,y)</math> è continua ed ammette le derivate parziali prime finite e continue in un'area semplice <math>\ \Omega</math> tangente al rettangolo definito dalle limitazioni: <math>a\le x\le b,\ c\le y\le d,</math> e se le funzioni <math>\ \alpha(x),\ \beta(x)</math> sono continue e derivabili in <math>\ (a,b),</math> mentre le funzioni <math>\ \gamma(y),\ \delta(y)</math> sono continue in <math>\ (c,d),</math> le funzioni: <math>\ F(x)</math> e <math>\ \Phi(x)</math> sono rispettivamente continue e derivabili in <math>\ (a,b)</math> e <math>\ (c,d).</math> Si ha inoltre:
 
::<math>{dF(x)\over dx}=\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)}{\partial f\over\partial x}dy-{d\alpha\over dx}f[x,\alpha(x)]+{d\beta\over dx}f[x,\beta (x)],</math>
 
::<math>{d\Phi(y)\over dy}=\int_{\gamma(y)}^{\delta (y)}{\partial f\over\partial y}dx-{d\gamma\over dy}f[\gamma(y),y]+{d\delta\over dy}f[\delta(y),y].</math>
 
 
 
===ESEMPI DI DERIVAZIONE DI INTEGRALI DIPENDENTI DA UN PARAMETRO===
 
::<math>1):\qquad \Phi(y)=\int_{0}^{1}x^ydx;</math>
 
:::::<math>{d\Phi\over dy}=\int_{0}^{1}\log\ x\ dx=-{1\over (y+1)^2.}</math>
 
::<math>2):\qquad \Phi(y)=\int_{0}^{\sqrt{1-y^2}}(4 x^3y-2 x y^3)dx;</math>
 
:::::<math>{d\Phi\over dy}=\int_{0}^{\sqrt{1-y^2}}(4x^3-6xy^2)dx-{y\over \sqrt{1-y^2}}[4\sqrt{(1-y^2)^3}\ y-2y^3\sqrt{1-y^2}]=</math>
 
:::::<math>=(x^4-3x^2y^2)_{0}^{\sqrt{1-y^2}}-y^2(4-6y^2)=1-9y^2+10y^4</math>
 
===INTEGRALI ELLITTICI===
 
<math>1)\qquad \int_{1}^{a}{1\over x}dx=(\log\ x)_{1}^{a}=\log\ a</math>
 
 
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