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===I DIVERSI TIPI DI INTEGRALE DEFINITO===
====integrale lineare====
=====--definizioni=====
::<math>\ C=</math> intervallo '''(a, b)''' dell'asse '''x''',
::<math>\ f=f(x),</math>
::<math>\ I_{c}=\lim_{\Delta x_{i}\to\ 0}\sum_{i}f(x_{i})\Delta x_{i}=\int_{a}^{b}f(x)dx=\varphi(b)-\varphi(a),</math>
essendo <math>\varphi(b)-\varphi(a)</math> la funzione primitiva di '''f(x)''' che si annulla per '''x=a'''.
=====''significato geometrico''=====
L'integrale considerato rappresenta:
"L'area della regione compresa fra l'asse '''x''', la curva '''y=f(x)''' e le ordinate '''x=a''', '''x=b'''".
Se la curva attraversa l'asse '''x''', l'area risulta uguale alla differenza dei due integrali ralativi alle due parti in cui la '''y=f(x)''' viene divisa dall'asse '''x'''.
=====--teorema della media=====
::<math>\int_{a}^{b}f(x)dx=\lambda(b-a),</math>
essendo <math>\ \lambda</math> un numero compreso fra il limite inferiore e superiore di '''f(x)''' in '''(a,b)'''.
Se la funzione è continua, <math>\ \lambda=f(c)</math> essendo: '''a<c<b.'''
=====--formule di integrazione approssimata=====
<math>A)\qquad \int_{a}^{b}dx={h\over 2}[(y_{0}+y_{n})+2(y_{1}+y_{4}+...+y_{n-1})],</math>
essendo: <math>\ h={b-a\over n}</math> e <math>\ y_{0},\ y_{1},...y_{n}</math> le ordinate corrispondenti alle ascisse '''a,a+h,...a+nh=b'''. (metodo di Bezout).
<math>B)\qquad \int_{a}^{b}f(x)dx={h\over 3}[(y_{0}+y_{2n})+2(y_{2}+y_{4}+...+y_{2n-2})+4(y_{1}+y_{3}+...+y_{2n-1})]</math>
avendo <math>\ h,\ y_{0},...y_{2n}</math> lo stesso significato di prima. (metodo di Simpson).
=====--formula per il cambiamento di variabile=====
====integfrale curvilineo====
=====1° '''''tipo'''''=====
<math>a) \ definizioni:\qquad \left\{\begin{matrix}C=intervallo\ (a,b)\ dell'asse\ x,\\f=f(x,y)\ con\ y\ \phi(x)\end{matrix}\right.</math>
:::::<math>\ I_{c}=\lim_{\Delta x_{i}\to 0}\sum_{i}f[x_{i}, \phi(x_{i})]\Delta x_{i}=\int_{\gamma}f(x,y)dx=</math>
::::::<math>\ =\int_{a}^{b}f[(x,\phi(x)]dx=\int_{a}^{b}g(x)dx,</math>
essendo <math>\gamma</math> l'arco '''AB''' avente per estremi i punti:
::::::<math>\ A=[a, \phi(a)];\qquad B=[b, \phi(b)].</math>
L'integrale considerato si calcola quindi come un integrale lineare.
Se la curva <math>\gamma</math> è dta mediante equazioni parametriche cioè se: '''x=x(t), y=y(t)''', allora l'intervallo curvilineo diventa:
::::::<math>\int_{\gamma}^{}f(x,y)dx=\int_{t_{1}}^{t_{2}}f[x(t),y(t)]x'(t)dt.</math>
<math>\ b)\ significato\ geometrico:</math>
rappresenta l'area della regione di piano limitata dall'asse'''x''' dalle rette '''x=a, x=b''' e dall'arco di curva '''y=g(x)''' compreso fra queste rette.
=====2° '''''tipo'''''=====
<math>a) \ definizioni:\qquad \left\{\begin{matrix}C=arco\ della\ curva\ y=\phi(x),\\f=(x,y)\ con\ y=\phi(x),\end{matrix}\right.</math>
:::::<math>\ I_{c}=\lim_{\Delta s_{i}\to 0}\sum_{i}f[x_{i},\phi(x_{i})]\Delta s_{i}=\int_{\gamma}{}f(x,y)ds=</math>
:::::::<math>\ =\int_{a}^{b}f[x,\phi(x)]\sqrt{1+{\phi}^{'2}(x)}\ dx,</math>
essendo <math>\gamma=AB</math> con <math>\ A=[a,\phi(a)</math> e <math>B=[b, \phi(b).</math>
Se la curva fosse data in forma parametrica, si avrebbe:
::::<math>\int_{\gamma}{}f(x,y)ds=\int_{a}^{b}f[x(t),y(t)]\sqrt{x^{'2}(t)+y^{'2}(t)}\ dt.</math>
====integrale doppio di campo====
=====a) definizioni:=====
::<math>\ C=</math> regione semplice <math>\ \Omega</math> del piano <math>\ xy,</math>
::<math>\ f=f(x,y)</math> con <math>\ x,y</math> variabili indipendenti,
::<math>\ I_{c}=\lim_{\Delta x{i}\to 0}\sum_{i}f(x_{i},y_{i})\Delta x_{i}\Delta y_{i}=\iint_{R}^{}g(x,y)dxdy</math>
::avendo posto:
::<math>\left\{\begin{matrix}g(x,y)=f(x,y)\ in\ \Omega,\\g(x,y)=0\ esternamente\ a \ \Omega\end{matrix}\right.</math>
=====b) calcolo per integrazioni successive=====
=====c) significato geometrico=====
Rappresenta il volume del solido limitato dal piano '''xy''', dalla superficie '''z=f(x, y)''' e dalla superficie cilindrica che proiettta una parte della superficie '''z=f(x,y)''' nella regione '''Ω '''; se la superficie data attraversa il piano '''xy''', il volume risulta uguale alla differenza degli integrali doppi relativi alle due parti in cui la '''z=f(x,y)''' viene divisa dal piano '''xy'''.
=====d) teorema della media=====
<math>\iint_{\Omega}^{}f(x,y)dxdy=\lambda\bar\Omega,</math> essendo <math>\ \bar\Omega=</math> area della regione <math>\ \Omega</math> e <math>\ l<\lambda<\ L,</math> dove <math>\ l</math> e <math>\ L</math> sono rispettivamente l'estremo inferiore e superiore di <math>\ f(x,y)</math> in <math>\ \Omega.</math>
Se <math>\ f(x,y)</math> è continua in <math>\ \Omega,</math> <math>\ \lambda=f(\bar x,\bar y)</math> esendo <math>\ (\bar x,\bar y)</math> un punto di <math>\ \Omega.</math>
=====e) teorema di Gaus=====
::::<math>\iint_{\Omega}^{}{\partial f\over\partial x}dxdy=\oint_{\gamma}^{}f(x,y)dy</math>
::::<math>\iint_{\Omega}^{}{\partial f\over\partial y}dxdy=-\oint_{\gamma}^{}f(x,y)dx</math>
essendo <math>\ f(x,y)</math> una funzione continua in <math>\ \Omega</math> e <math>\ \gamma</math> il contorno chiuso di <math>\ \Omega.</math>
=====f) formula di Green o di Stokes=====
::::<math>\iint_{\Omega}^{}({\partial B\over\partial x}-{\partial A\over\partial y})dxdy=\oint_{\lambda}^{}(Adx+Bdy),</math>
essendo <math>\ A(x,y)</math> e <math>\ B(x,y)</math> funzioni date con le loro derivate prime in un'area semplice <math>\ \Omega</math>, <math>\ \lambda</math> il contorno chiuso della regione <math>\ \Omega.</math>
Le formule esposte servono a trasformare un intergrale doppio di campo in un integrale curvilineo e vicevarsa.
=====g) formula per il cambiamento di variabili=====
====integrale triplo====
===ESEMPI DI CALCOLO DI INTEGRALI DEFINITI===
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