Differenze tra le versioni di "Analisi matematica"

 
 
 
===ESEMPI DI CALCOLO DI INTEGRALI NON IMMEDIATI===
====esercizio 1°====
 
 
:<math>\ \int_{}\frac{x+1}{x^2-5x+6}dx</math>
 
 
:Si ha: <math>\ x^2-5+6=(x-2)(x-3)</math> ''','''
 
:<math>\frac{x+1}{x^2-5x+6}=\frac{c_{1}}{x-2}+\frac{c_{2}}{x-3}</math> ''','''
 
:<math>\ x+1=(c_{1}+c_{2})x-3 c_{1}-2 c_{2}</math> ''','''
 
da cui:
 
:<math>\left\{\begin{matrix}c_{1}+c_{2}=1\\-3c_{1}-2c_{2}=1\end{matrix}\right.</math>
 
Risolvendo il sistema si ha:<math>\ c_{1}=-3</math> e <math>\ c_{2}=4</math>
 
Quindi:
 
:<math>\int_{}\frac{x+1}{x^2-5x+6}dx=\ \int_{}\frac{-3}{x-2}dx+\ \int_{}\frac{4}{x-3}dx=log\frac{(x-3)^4}{(x-2)^3}</math>
 
 
====esercizio 2°====
 
 
 
:<math>\ \int_{}\frac{x^3+x+1}{x^3-x^2+x-1}dx</math>
 
 
 
:Eseguendo la divisione si ha:
 
:<math>\ \int_{}\frac{x^3+x+1}{x^3-x^2+x-1}=1+\frac{x^2+2}{x^3-x^2+x-1}=1+\frac{x^2+2}{(x-1)(x^2+1)}</math>
 
:Scomponendo la seconda frazione ottenuta e determinando le costanti come nell'esempio prescedente si trova:
 
:<math>\frac{x^2+2}{x^3-x^2+x-1}=\frac{c_{1}}{x-1}+\frac{c_{2} x+c_{2}}{x^2+1}=\frac{3}{2}\frac{1}{x-1}-\frac{1}{2}\frac{x+1}{x^2+1}</math>
 
:Quindi:
 
:<math>\ \int_{}\frac{x^3+x+1}{x^3-x^2+x-1}dx=x+\frac{3}{2}log(x-1)-\frac{1}{4}log(x^2+1)-\frac{1}{2} arc\ tang (x)=</math>
::::::::<math>=x+log\sqrt \frac{(x-1)^3}{\sqrt (x^2+1)}-\frac{1}{2}arc\ tang (x)</math>
 
 
====esercizio 3°====
 
::<math>\int{}{}{x^3-x^2+1\over (1+x^2)^3}dx</math>
 
Applicando la formula notevole <math>\int{}{}{A(x)\over (ax^2+b)^n}dx={\sum _{i=1}^{2n-2}c_{i} x^{i-1}\over (ax^2+n)^{n-1}}+c_{2n-1}\log(ax^2+b)+c_{2n} I_{0}(x)</math>
 
Derivando i due membri, riducendo i risultati allo stesso denominatore e confrontando poi i numeratori, si trovano i valori:
 
:::<math>\ c_{1}={1\over 4}\quad c_{2}={-1\over 2}\quad c_{3}={3\over 4}\quad c_{4}={-1\over 4}\quad c_{5}=0\quad c_{6}={1\over 4}</math>
 
 
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