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===FORMULE RISOLUTIVE DEGLI INTEGRALI===
==== 1) integrali immediati====
{| {{prettytable|width=50%|text-align=center}}
|-
! funzione data || integrale || funzione data || integrale
|-
! <math>\ x^m</math> || <math>\frac{x^{m+1}}{m+1}</math> || <math>\ cos^2 x</math> ||<math>\ tang\ x</math>
|-
! <math>\ a^x</math> || <math>\frac{a^x}{\log{a}}</math> || <math>\ -cosc^2\ x</math> || <math>\ cotang\ x</math>
|-
! <math>\ e^x</math> || <math>\ e^x</math> || <math>\ sec^2\ x</math> || <math>\ tang\ x</math>
|-
! <math>\frac{1}{x}</math> || <math>\ log x</math> || <math>-\ cosec^2\ x</math> || <math>\ cotang\ x</math>
|-
! <math>\ sin x</math> || <math>\ -cos x</math> || <math>{1\over \sqrt {1-x^2}}</math> || <math>\ arc\ sen\ x</math>
|-
! <math>\ cos x</math>||<math>\ sen x</math> || <math>-{1\over \sqrt{1-x^2}}</math> || <math>\ arc\ cos\ x</math>
|-
! <math>\frac{1}{2\sqrt x}</math> || <math>\sqrt x</math>||<math>\ {1\over 1+x^2}</math>||<math>arc\ tang\ x</math>
|-
! <math>\frac{1}{n\sqrt[n]x^{n-1}}</math> || <math>\sqrt[n]x</math> || <math>-{1\over 1+x^2}</math> || <math>\ arc\ cotang\ x</math>
|-
! <math>\ {1\over x\sqrt{x^2-1}}</math> || <math>\ arc\ sec\ x</math> ||<math>\ -{1\over x\sqrt{x^2-1}}</math> ||<math>\ arc\ cosec\ x</math>
|}
====2) integrali quasi immediati====
:1°) <math> \ \int_{}{(ax+b)^n} dx=\frac{1}{a}\ \int_{}(ax+b)^n d(ax+b)=\frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}</math>
:2°) <math>\ \int_{}\frac{dx}{ax+b}=\frac {1}{a}\ \int_{}\frac{d(ax+b)}{ax+b}=\frac{1}{a}\log (ax+b)</math>
:3°) <math>\ \int_{}\frac{dx}{(ax+b)^n}=\frac{1}{a}\ \int_{}\frac{d(ax+b)}{(ax+b)^n}=\frac{1}{a(1-n)(ax+b)^{n-1}}</math>
:4°) <math>\ \int_{}\frac{x dx}{ax^2+b}=\frac{1}{2a}\ \int_{}\frac{d(ax^2+b)}{ax^2+b}=\frac{1}{2a}\log(ax^2+b)</math>
:5°) <math>\begin{align}\ \int_{}\frac{dx}{ax^2+b}&=\frac{1}{a}\ \int_{}\frac{dx}{x^2+c^2}=\frac{1}{ac}\ \int_{}\frac{d(\frac{x}{c})}{(\frac{x}{c})^2+1}=\frac{1}{ac}\ arc \ tang\frac{x}{c}\\&=\frac{1}{a}\sqrt \frac{a}{b}\ arc \ tang\sqrt\frac{a}{b}\ x\end{align} </math>
::::::: quando <math>\ \frac{b}{a}=c^2\ >0</math>
====3) integrali non immediati====
=====funzioni razionali=====
:'''''funzione razionale intera'''''
::::<math>\ \int_{}(a_{o}x^n+a_{1}x^{n-1}+.....+a_{n-1}x+a_{n})dx=a_{o}\frac{x^{n+1}}{n+1}+....+a_{n+1}</math>
:'''''funzione razionale fratta''''':<math>\frac{A(x)}{B(x)}</math>
Se il denominatore è tale che:
:<math>\ B(x)=(x-\alpha)(x-\beta)^r[(x-\epsilon)^2+\delta^2][x-\mu)^2+\nu^2]^s</math>
essendo: <math>\ \alpha</math> una radice reale semplice,
::<math>\ \beta</math> una radice reale multipla,
::<math>\ \epsilon\pm i\delta</math> due radici complesse semplici,
::<math>\ \mu\pm i\nu</math> due radici complesse multiple,
dell'equazione: <math>\ B(x)=0</math>, la frazione data si decompone nel seguente modo:
:<math>\frac{A(x)}{B(x)}=\frac{c_{1}}{x-\alpha}+\frac{d_{r}}{(x-\beta)^r}+\frac{d_{{r-1}}}{(x-\beta)^{r-1}}+....+\frac{d_{1}}{x-\beta}+\frac{m_{1}x+n_{1}}{(x-\epsilon)^2+\delta^2}+\frac{p_{s}x+q_{s}}{[(x-\mu)^2+\nu^2]^{s-}}+</math>
::::<math>+\frac{p_{s-1}x+q_{s-1}}{[(x-\mu)^2+\nu^2]^{s-1}}+....+\frac{p_{1}x+q_{1}}{(x-\nu)^2+\nu^2}</math>
dove le costanti <math>\ c_{1}, d_{i}, m_{i}, n_{i}, p_{i}, q_{i}</math>, si determinano riducendo i due membri a forma intera, confrontando i numeratori ottenuti, e risolvendo il sistema che si ottiene scrivendo che devono essere uguali i coefficienti delle stesse potenze della <math>\ x</math> dei due menbri. L'integrazione della frazione <math>\frac{A_{x}}{B_{x}}</math> è ricondotta così ad un gruppo di integrali quasi tutti immediati
:'''''formule risolutive notevoli'''''
:'''A''')<math>\ \int_{}\frac{A(x)dx}{(x-\alpha_{1})(x-\alpha_{2})....(x-\alpha_{n})}=\sum_{i=1}^n c_{i}\ log(x-\alpha_{i})</math>
:'''B''')<math>\ \int_{}\frac{dx}{(ax^2+b)^2}=\frac{\sum_{i=1}^{i=n} c_{i}\ log(x-\alpha_{i})}{(ax^2+b)^{n-1}}+c_{n}I_{o}(x)</math>
::dove <math>\ I_{o}(x)=\ \int_{}\frac{dx}{ax^2+b}</math>
=====funzioni irrazionali=====
<math>a)\qquad \int_{}{}F[x,(ax+b)^{m\over n},(ax+b)^{p\over q}....(ax+b)^{r\over s}]ds</math>
con '''F''' simbolo di funzione razionale.
Ponendo:<math>\ ax+b=t^\mu</math> dove <math>\ \mu=m.c.m(n,q,...s)</math>, da cui: <math>a\ dx=\mu t^{\mu -1}dt</math>, l'integrale diventa:
::<math> \int_{}{}F({t^\mu-b\over a},\ t^mq_{1},\ t^pq_{2},...t^rq_{k}){\mu\over a}\ t^{\mu-1}dt</math>
con:<math>\ q_{1}={\mu\over n},\ q_{2}={\mu\over q},\ ....q_{k}={\mu\over s},</math>
e si è così ricondotti all'integrale di una funzione razionale.
::'''''esempio'''''
<math>1\qquad \int_{}{}{dx\over 1+\sqrt 2}</math>
Ponendo <math>\ x=t^2,\ dx=2\ t\ dt,\ t=\sqrt x</math> si ha:
::<math>\begin{align}\int_{}{}{dx\over 1+\sqrt x}&=2 \int_{}{}{t\ dt\over 1+t}=2t-2\log(1+t)\\&=2\sqrt x-2\log(1+\sqrt x)\end{align}</math>
<math>2\qquad \int_{}{}{dx\over \sqrt[3]x -1}</math>
Posto <math>\ x=t^3</math> onde <math>dx=3t^2\ dt</math> si ha:
::<math>\ \int_{}{}{dx\over \sqrt[3]x -1}=\int_{}{}{1\over t-1}3\ t^2 dt=3\int_{}{}{t^2\over t-1}dt</math>
Ora, <math>{t^2\over t-1}=1+t+{1\over t-1},</math> quindi
::<math>\ \int_{}{}{t^2\over t-1}dt= t+ {t^2\over 2}+ \log(t-1);</math>
allora, per <math>t=\sqrt[3]x,</math>
::<math>\int_{}{}{dx\over \sqrt[3]x -1}=3[\sqrt[3]x+{1\over 2}\sqrt[3]x^2+\log(\sqrt[3]x -1)]</math>
<math>b)\qquad \int_{}{}{F(x,\sqrt{ax^2+bx+c}}\ )dx</math>
con '''F''' simbolo di funzione razionale.
'''I°)''' Se '''a'''>'''0''', si pone: <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=t-\sqrt a\ x,</math> da cui:
::<math>x={t^2-c\over 2\sqrt a\ t+b},\qquad dx=2{(t^2+c)\sqrt a+bt\over (2t\sqrt a+b)^2}dt,\qquad t=x+\sqrt{ax^2+bx+c}</math>
::<math>\sqrt{ax^2+bx+c}=\frac{(t^2+c)\sqrt a +bt}{ 2t\sqrt a +b}</math>
Sostituendo tutto in funzione di '''t''' l'integrale vieme razionalizzato.
::'''''esempio'''''
::<math>\int{}{}{1\over \sqrt{x^2-4x+5}}dx</math>
Poniamo: <math>\sqrt{x^2-4x+5}=t-x</math> da cui
::<math>x={1\over 2}{t^2-5\over t-2},\qquad dx={t^2-4t+5\over 2(t-2)^2}\ dt,\qquad t=x+\sqrt{x^2-4x+5};</math>
::<math>\sqrt{x^2-4x+5}={t^2-4t+5\over 2(t-2)}</math>
allora, a meno di una costante:
::<math>\int_{}{}{1\over {t^2-4t+5\over 2(t-2)}}\ {1\over 2}\ {t^2-4t+5\over (t-2)^2}dt=\int_{}{}{dt\over t-2}=\log(t-2);</math>
si ha quindi:
::<math>\int_{}{}{dx\over \sqrt{x^2-4x+5}}=\log(x+\sqrt{x^2-4x+5}-2)</math>
=====funzioni trascendenti=====
<math>a)\qquad \int_{}{}F(sen\ x, cos\ x)dx</math>
con '''F''' simbolo di funzione razionale.
Si pone: <math>\ t=tang\ {x\over 2},</math> da cui: <math>dx={dt\over 1+t^2}, sen\ x={2t\over 1+t^2}, cos\ x={1-t^2\over 1+t^2}</math>
Esprimendo in '''t''', l'integrale viene razionalizzato.
:::'''''esempio'''''
::<math>\int_{}{}{dx\over sen\ x+cos\ x}</math>
Ricordato che
::<math>sen\ x={2\ tang{x\over 2}\over 1+tang^2{x\over 2}}\qquad cos\ x={1-tang^2{x\over 2}\over{1+tang^2{x\over 2}}}</math>
si porrà: <math>tang{x\over 2}=t</math> da cui <math>{dt\over dx}={1\over 2}{1\over cos^2{x\over 2}}={1\over 2}(1+t^2);</math>
allora:<math>\int_{}{}{dx\over sen\ x+cos\ x}=\int_{}{}{{2\over 1+t^2}\over {2t\over 1+t^2}+{1-t^2\over 1+t^2}}dt=\int{}{}{2 dt\over -t^2+2t+1},</math>
con che la funzione da integrare è una funzione algebrica razionale.
<math>b)\qquad \int_{}{}F(tang\ x)dx</math>
con '''F''' simbolo di funzione razionale.
Si pone: <math>tang\ x=t</math>, da cui <math>dx={dt\over 1+t^2},</math> e l'integrale espresso in '''t''' viene razionalizzato.
:::'''''esempio'''''
::<math>\int_{}{}tang\ x\ dx=\int_{}{}{t\over 1+t^2}\ dt={1\over 2}\ log_e(1+t^2)={1\over 2}\log_e(1+tng^2 x)</math>
<math>c)\qquad \int_{}{}F(e^{ax})dx</math>
con '''F''' sinbolo di funzione razionale.
Si pone : <math>\ e^{ax}=t,</math> da cui <math>x={1\over a}\ log\ t,\ dx={dt\over dx}</math> e sostituendo l'integrale viene razionalizzato.
:::'''''esempio'''''
::<math>\int{}{}{1\over 1+e^x}\ dx</math>
Posto <math>\ e^x=t,</math> da cui <math>{dt\over dx}=e^x=t,</math> si ha:
::<math>\int{}{}{dx\over 1+e^x}=\int{}{}{dt\over t(1+t)}=log\ t-log\ (1+t),</math> e
::<math>\int{}{}{dx\over 1+e^x}=log\ e^x-log\ (1+e^x)=x-log(1+e^x)</math>
<math>\ d)</math> Si possono ridurre a integrali di funzioni trigronometriche dei tipi '''a)''' e '''b)''' mediante opportune sostituzioni gli integrali seguenti di funzioni irrazionali.
::I° <math>\int{}{}F(x, \sqrt{a^2-x^2})\ dx</math>, con '''F''' simbolo di funzione razionale.
si pone: <math>\ x=a\ sent,</math> onde:
::<math>\int{}{}F(x, \sqrt{a^2-x^2})\ dx=\int{}{}F(a\ sent, a\ cost)a\ cost\ dt</math>
:::'''''esempio'''''
::<math>\int{}{}{5\over \sqrt{5^2-x^2}}\ dx</math>
Si pone <math>x=5\ sen\ t,</math> da cui: <math>\ dx=5\ cost\ dt,</math> e <math>\ t=arc\ sen{x\over 5}.</math>
Allora:
::<math>\int{}{}{x\over \sqrt{5^2- x^2}}\ dx=\int{}{}{5\ sent\over \sqrt{5^2-5^2\ sen^2t}}5\ cost\ dt=-5\ cost</math>
Sostituendo i ha: <math>\ -5\ cos\ arc\ sen{x\over 5}=-\sqrt{5^2-x^2}.</math>
::II° <math>\int{}{}F(x, \sqrt{a^2+x^2})\ dx</math>
Si pone: <math>\ x=a\ tang\ t</math> ovvero <math>\ x=a\ sinh\ x,</math> da cui:
::<math>\ dx=a\ sec^2t\ dt\qquad dx=a\ cosh\ t\ dt</math>
Allora:
::<math>\int{}(x,\sqrt{a^2+x^2})\ dx=\int{}{}F(a\ tang\ t,a\ sec\ t)a\ sec^2t\ dt</math>
::::::::ovvero
:::::::::<math>=\int{}F(a\ senh\ t,\ a\ cosh\ t)a\ cosh\ t\ dt.</math>
:::'''''esempio'''''
::III° <math>\int{}{}F(x, \sqrt{x^2-a^2})\ dx</math>
<math>\ e)</math> Si possono ridurre facilmente a integrali razionali i seguenti: ponendo <math>\ cos\ x=t</math> ovvero <math>\ sen\ x=t</math>, si ha:
::<math>\int_{}{}sen\ x F(sen^2x,cos\ x)dx=-\int_{}{}F(t-t^2, t)dt</math>
::<math>\int_{}{}cos\ x F(cos^2x, sen\ x)dx=\int_{}{}F(1-t^2, t)dt</math>
con '''F''' simbolo di funzione algebrca razionale.
<math>\ f)\qquad formule notevoli di riduzione</math>
===ESEMPI DI CALCOLO DI INTEGRALI NON IMMEDIATI===
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