|
===Dinamica dei sistemi di punti===
====--''equazioni del moto per un sistema di punti e teorema del baricentro''====
Se consideriamo un sistema '''S''' di punti materiali, e sia <math>m_{i}</math> la massa e <math>\vec{v_{i}}</math> la velocità del generico punto <math>m_{i}</math>, l'equazione del moto per questo punto può esere scritta:
::::<math>{d\over dt}(m_{i}\vec{v_{i}})=\vec{F_{e}}+\vec{F_{i}}</math>
Essendo <math>\vec{F_{e}}</math> la forza esterna applicata a questo punto mentre <math>\vec{F_{i}}</math> è il risultante di tutte le azioni che i punti circostanti esercitano sul punto considerato. Se scriviamo la precedente equazione per tutti i vari punti avremo '''n''' equazioni vettoriali che sommate si riducono alla unica
::::<math>{d\over dt}(\sum{m_{i}}\vec{v_{i}})=\sum{\vec{F_{e}}}+\sum{\vec{F_{i}}}</math>
Questa equazione proiettata in tre assi dà le seguenti tre equazioni scalari:
::::<math>{d\over dt}(\sum{m_{i}}\dot{x_{i}})=\sum{X_{i}}+\sum{X_{e}}</math>
::::<math>{d\over dt}(\sum{m_{i}}\dot{y_{i}})=\sum{Y_{i}}+\sum{Y_{e}}</math>
::::<math>{d\over dt}(\sum{m_{i}}\dot{Z_{i}})=\sum{Z_{i}}+\sum{Z_{e}}</math>
Ma il risultante delle forze interne per il principio di azione e reazione è un sistema nullo, cioè <math>\sum{X_{i}}=\sum{y_{i}}=\sum{Z_{i}}=0</math>, in quanto le forze interne a due a due costituiscono dei sistemi nulli.
Allora le equazioni (8) divengono:
::::<math>{d\over dt}(\sum{m_{i}}\dot{x_{i}})=\sum{X_{e}}</math>
::::<math>{d\over dt}(\sum{m_{i}}\dot{y_{i}})=\sum{Y_{e}}</math>
::::<math>{d\over dt}(\sum{m_{i}}\dot{z_{i}})=\sum{Z_{e}}</math>
Ricordando la definizione di baricentro di un sistema di masse cioè come quel punto '''G''' tale che le sue coordinate sono date dalle seguenti espressioni:
::::<math>x_{G}=\frac{\sum{m_{i}x_{i}}}{\sum{m_{i}}}</math>
::::<math>y_{G}=\frac{\sum{m_{i}y_{i}}}{\sum{m_{i}}}</math>
::::<math>z_{G}=\frac{\sum{m_{i}}z_{i}}{\sum{m_{i}}}</math>
e considerando <math>\ m_{i}=cost</math>
::::<math>(\sum_{}m_{i})\dot{x_{G}}=\sum_{}m_{i}\dot{x_{i}}</math>
::::<math>(\sum_{}m_{i})\dot{y_{G}}=\sum_{}m_{i}\dot{y_{i}}</math>
::::<math>(\sum_{}m_{i})\dot{z_{G}}=\sum_{}m_{i}\dot{z_{i}}</math>
E tenedo conto che la massa totale del sistema è data da <math>M=\sum{}m_{i}</math> si ottengono le tre seguenti equazioni
:::::::::::{| {{prettytable}}
!<math>{d\over dt}(M\dot{x_{G}})=\sum_{}X_{e}</math>
|-
!<math>{d\over dt}(M\dot{y_{G}})=\sum_{}Y_{e}</math>
|-
!<math>{d\over dt}(M\dot{z_{G}})=\sum_{}Z_{e}</math>
|}
da cui deriva il teorema fondamentale del baricentro. Cioè che il baricentro del sistema si muove come un punto materiale avente la massa totale <math>\ M</math> del sistema e su cui agisce una forza eguale alla somma vettoriale delle forze agenti su tutti i vari punti di massa.
Concludendo possiamo dire che se <math>\ Q</math> è la quantità di moto totale del sistema dato da
::::<math>\vec{Q}=\sum_{i=1}^n m_{i}v_{i}</math>
il teorema della quantità di moto si esprime dicendo che il derivato delle quantità di moto è uguale al risultante delle sole forze esterne applicate al sistema, cioè
::::::::::::::{| {{prettytable}}
!<math>{d\vec{Q}\over dt}=\vec{R_{e}}</math>
|}
====--''momento delle quantità di moto''====
Consideriamo un punto 'C' ed un punto materiale <math>P_{i}</math> a cui compete il vettore quantità di moto <math>m_{i}\vec{v_{i}}</math>. Il momento di <math>m_{i}\vec{v_{i}}</math> è per definizione il vettore:
::::<math>\vec{H_{i}}=\vec{CP_{i}}\wedge m_{i}\vec{v_{i}}</math>
Il momento risultante rispetto a 'C' è dato da:
::::<math>\sum{\vec{H_{i}}}=\sum{(\vec{CP_{i}}}\wedge m_{i}\vec{v_{i}})</math>
eseguiamo il derivato:
::::<math>{d\over dt}\sum{\vec{H_{i}}}=\sum_{}({d\over dt}\vec{CP_{i}}\wedge m_{i}\vec{v_{i}})+\sum(\vec{CP_{i}}\wedge {d\over dt} m_{i}\vec{v_{i}})</math>
Tenendo conto della relazione:
::::<math>\vec{CP_{i}}=\vec{OP_{i}}-\vec{OC}</math>
e derivando si ottiene:
::::<math>{d\over dt}\vec{OP_{i}}={d\over dt}\vec{OP_{i}}-{d\over dt}\vec{OC}=\vec{v_{i}}-\vec{v_{c}}</math>
che sostituite nell'espressione del momento della quantità di moto da':
::::<math>{d\over dt}\sum{\vec{H_{i}}}=\sum{(\vec{v_{i}}-\vec{v_{c}})}\wedge m_{i}\vec{v_{i}}+\sum{\vec{CP_{i}}}\wedge{d\over dt}(m_{i}\vec{v_{i}})</math>
ma osservando che:
::::<math>\sum(\vec{v_{i}}-\vec{v_{c}})=\sum{v_{i}}\wedge m_{i}\vec{v_{i}}-\sum{\vec{v_{c}}}\wedge m_{i}\vec{v_{i}}</math>
e che il termine vettoriale:
::::<math>\sum{\vec{v_{i}}}\wedge m_{i}\vec{v_{i}}=0</math>
e che per il teorema del baricentro:
::::<math>\sum{m_{i}\vec{v_{i}}}=M\vec{v_{G}}</math>
otteniamo in definitiva:
::::::::::{| {{prettytable}}
|-bgcolor=eOffff
!<math>{d\over dt}\sum{\vec{H_{i}}}=\sum{\vec{CP_{i}}}\wedge\vec{F_{e}}-\vec{v_{c}}\wedge M\vec{v_{G}}</math>
|}
E tenendo presente che <math>\sum{\vec{CP_{i}}}\wedge\vec{F_{e}}</math> è il momento delle forze esterne rispetto a 'C', possiamo scrivere:
::::<math>{d\over dt}\sum{\vec{H_{i}}}=\vec{M_{e}}-\vec{v_{c}}\wedge M\vec{v_{G}}</math>
E' da notare che il termine <math>\vec{v_{c}}\wedge M\vec{v_{G}}</math> è zero solo se 'C' è fermo o è il baricentro, allora solo in questo caso possiamo scrivere semplicemente:
::::::::{| {{prettytable}}
|-bgcolor=eOffff
!<math>{d\over dt}\sum{\vec{H_{i}}}=\vec{M_{e}}</math>
|}
Concludendo che il vettore derivato del momento della quantità di moto è uguale al momento delle forze esterne rispetto al punto fisso o rispetto al baricentro.
| 