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==CAP.I°-Cinematica==
===Cinematica del punto===
===Cinematica dei sistemi rigidi===
Si dice, che il moto di di ''S'' è un moto rigido quando risulta indipendente, dal tempo '''t''', ciascuna delle distanze mutue dei punti di ''S'', presi a due a due in tutti i modi possibili.
====--''moto di traslazione''====
Chiameremo con <math>S_{1}</math> e <math>S_{2}</math> due diverse posizioni di uno stesso sistema rigido nello spazio; esse sono due figure congruenti e la loro sovrapposizione avverrà quando tre punti della <math>S_{1}</math>, non giacenti in una medesima retta verranno a coincidere coi loro corrispondenti della <math>S_{2}</math>.
Se <math>A_{1}</math> e <math>A_{2}</math> sono due punti corrispondenti , il vettore <math>\bar{\mathbf{{A_{1}}{A_{2}}}}</math> dicesi lo spostamento del punto <math>A_{1}</math>. Se:
::::<math>\bar{\mathbf{{A_{1}}{A_{2}}}}=\bar{\mathbf{{B_{1}}{B_{2}}}}=.....=\bar{\mathbf{{N_{1}}{N_{2}}}}=\bar{\mathbf{a}}</math>
cioè se tutti i vettori spostamenti dei vari punti sono uguali, si dice allora che la posizione <math>S_{2}</math> è dedotta da <math>S_{1}</math> mediante una traslazione semplice di vettore <math>\vec{a}</math>.Se questa proprietà vale per tutte le posizioni intermedie fra <math>S_{1}</math> <math>S_{2}</math> , vicine quanto si vuole, il moto si chiama allora di traslazione semplice continua. In tal caso se '''A''' e '''B''' sono due punti di <math>S_{1}</math> ed
'''A'''' e '''B'''' sono i loro corrispondenti in una qualunque posizione intermedia fra <math>S_{1}</math> e <math>S_{2}</math>, poichè
::::<math>\vec{AA'}=\vec{BB'}</math>
e pochè '''A''' e '''B''' possono assumersi vicini quanto si vuole, si conclude che la velocità di '''A''' è eguale a quella di '''B''' istante per istante. Cioè tutti i punti di <math>S_{1}</math> descrivono curve parallele ed hanno in ogni istante la stessa velocità. Se la velocità è costante nel tempo si ha una traslazione rettilinea uniforme.
====--''moto rotatorio''====
Supponiamo ora che le due figure componenti <math>S_{1}</math> e <math>S_{2}</math> abbiano in comune due punti e quindi tutti i punti comuni della congiungente che diremo asse.
Consideriamo ore un punto <math>P_{1}</math> di <math>S_{1}</math> non appartenente all'asse, e sia <math>P_{2}</math> il suo corrispondente in <math>S_{2}</math>. Mandiamo dal punto <math>P_{1}</math> la normale O<math>P_{1}</math> all'asse, e conduciamo anche la O<math>P_{2}</math>, la O<math>P_{2}</math> risulterà, essendo <math>P_{2}</math> corrispondente di <math>P_{1}</math>, normale all'asse ed <math>OS_{2}= OS_{1}</math>.
Allora fecendo descrivere a <math>P_{1}</math> l'arco di cerchio <math>P_{1}P_{2}</math>, la figura <math>S_{1}</math> si sovrapporrà ad <math>S_{2}</math>, in quanto hanno tre punti comuni non allineati, mediante un movimento che si chiamerà di rotazione semplice. L'angolo θ di cui ha ruotato il piano <math>\alpha_{1}</math> formato da <math>P_{1}</math> e l'asse, per andare a coincidere con il piano <math>\alpha_{2}</math> formato da <math>P_{2}</math> e l'asse, chiamasi ampiezza della rotazione.
====--''definizione di velocità angolare''====
Preso un piano di riferimento fisso passante per l'asse di rotazione, e se <math>\theta</math> è l'angolo che un piano mobile, passante per l'asse, forma con questo piano fisso, si definisce velocità angolare scalare il termine:
::::<math>\dot{\theta}={d\over dt} \theta(t)=\omega</math>
Nel caso che
::::<math>{d^2\over dt^2}\theta(t)=\ddot{\theta}=0</math>
si dice che il moto è di rotazione uniforme.
====--''velocità angolare vettoriale''====
Si chiama vettore velocità angolare, il vettore <math>\vec{\Omega}</math> che ha per modulo <math>\omega</math>, direzione parallela all'asse di rotazione e verso positivo quello anti
orario.
FIGURA
Velocità di un punto '''P''' in un moto rotatorio.
Se '''O''' è un punto qualsiasi dell'asse e '''P''' è il punto di cui si vuol conoscere la velocità, questa è data:
::::<math>\vec{v_{p}}= \vec{\Omega}\wedge\vec{OP}</math>
====--''moto elicoidale''====
Il moto rigido costituito da una rotazione del corpo con velovità <math>\vec{\Omega}</math> intorno ad un asse, e da una traslazione lungo questo asse di ampiezza <math>\vec{a}</math> , si chiama mpto rigido elicoidale. Le traettorie dei vari punti '''S''' sono tutte eliche dello stesso passo. Questo è il moto che in genere descrive una vite.
====--''formule fondamentalidi Cinematica dei corpi rigidi''====
Se '''P''' e '''O''' sono due punti qualunque di un sistema rigido in movimento, e chiamiamo con <math>\vec{v_{p}}</math> e <math>\vec{v_{0}}</math> le loro velocitàad un certo istante t. Si dimostra che:
:::::::::::{| {{prettytable}}
!<math>\vec{v_{p}}=\vec{v_{0}}+\vec{\Omega}\wedge\vec{OP}</math>
|}
Preso in '''O''' un sistema di riferimento solidale con '''S''', '''O'''xyz, e scelto un sistema fisso di riferimento <math>\boldsymbol{\xi}</math>, <math>\boldsymbol{\eta},</math>, <math>\boldsymbol{\zeta}</math>, e se <math>\vec{i}</math>, <math>\vec{j}</math>, <math>\vec{k}</math> sono i vettori unitari degli assi mobili '''x''', '''y''', '''z''' del corpo rigido abbiamo che
::::<math>\vec{OP}=x \vec{i}+y \vec{j}+z \vec{k}</math>
Per cui la velocità di '''P''', '''<math>\vec{ v_{p}}</math>''', è uguale a <math>{d\over dt}\vec{O_{1}P}</math>, mentre quella di '''O''', <math>\vec{ v_{0}}</math>, è data da <math>{d\over dt}\vec{O_{1}O}</math>. Posto ciò abbiamo che:
::::<math>{d\over dt}\vec{OP}={d\over dt}\vec{O_{1}P}-{d\over dt}\vec{O_{1}O}=\vec{v_p}-\vec{v_0}</math>
Se deriviamo la (7) rispetto al tempo otteniamo di conseguenza:
::::<math>\vec{v_{p}}=\vec{v_{0}}+\dot{x}\vec{i}+\dot{y}\vec{j}+\dot{z}\vec{k}+x{d\over dt}\vec{i}+y{d\over dt}\vec{j}+z{d\over dt}\vec{k}</math>
Essendo '''P''' un punto collegato rigidamente al corpo abbiamo che <math>\dot{x}=\dot{y}=\dot{z}=0</math>. La (8) si riduce alloraa:
::::<math>\vec{v_{p}}=\vec{v_{0}}+x{d\over dt}\vec{i}+y{d\over dt}\vec{j}+z{d\over dt}\vec{k}</math>
Vogliamo ora dimostrare che:
::::<math>\left\{\begin{matrix}{d\over dt}\vec{i}=\vec\Omega\wedge\vec{i}\\{d\over dt}\vec{j}=\vec\Omega\wedge\vec{j}\\{d\over dt}\vec{k}=\vec\Omega\wedge\vec{k}\end{matrix}\right.</math>
Per dimostrare ciò ricordiamo ora alcune proprietà dei vettori unitari:
::::{| {{prettytable}}
|-bgcolor=#eOffff
!prodotto vettoriale||prodotto scalare
|-bgcolor=#eOffff
|<math>\vec{i}\wedge\vec{i}=\vec{j}\wedge\vec{j}=\vec{k}\wedge\vec{k}=0</math>||<math>\vec{i}\times\vec{i}=\vec{j}\times\vec{j}=\vec{k}\times\vec{k}=1</math>
|-bgcolor=#eOffff
|<math>\vec{i}\wedge\vec{j}=-\vec{j}\wedge\vec{i}=\vec{k}</math>||<math>\vec{i}\times\vec{j}=0</math>
|-bgcolor=#eOffff
|<math>\vec{j}\wedge\vec{k}=-\vec{k}\wedge\vec{j}=\vec{i}</math>||<math>\vec{j}\times\vec{k}=0</math>
|}
Inoltre possiamo scrivere:
::::<math>{d\over dt}(\vec{i}\times\vec{i})=\vec{i}\times{d\vec{i}\over dt}+{d\vec{i}\over dt}\times\vec{i}=2({d\vec{i}\over dt}\times\vec{i})=0</math>
::::<math>{d\over dt}(\vec{i}\times\vec{j})={d\vec{i}\over dt}\times\vec{j}+\vec{i}\times{d\vec{j}\over dt}=0</math>
::::<math>{d\over dt}(\vec{j}\times\vec{k})={d\vec{j}\over dt}\times\vec{k}+\vec{j}\times{d\vec{k}\over dt}=0</math>
:::::::{| {{prettytable}}
|-bgcolor=#eOffff
!<math>{d\vec{i}\over dt}\times\vec{i}=0</math>
|-bgcolor=#eOffff
|<math>{d\vec{i}\over dt}\times\vec{j}=-\vec{i}\times{d\vec{j}\over dt}</math>
|-bgcolor=#eOffff
|<math>{d\vec{j}\over dt}\times\vec{k}=-\vec{j}\times{d\vec{k}\over dt}</math>
|}
Il vettore <math>{d\vec{i}\over dt}</math> potrà essere espresso in generale come:
::::<math>{d\vec{i}\over dt}=a\vec{i}+b\vec{j}+c\vec{k}</math>
Se moltiplichiamo scalarmente la (14) rispettivamente per <math>\vec{i}</math>, <math>\vec{j}</math>, <math>\vec{k}</math> otteniamo:
::::<math>{d\vec{i}\over dt}\times\vec{i}=a\vec{i}\times\vec{i}+b\vec{j}\times\vec{i}+c\vec{k}\times\vec{i}=a=0</math>
::::<math>{d\vec{i}\over dt}\times\vec{j}=a\vec{i}\times\vec{j}+b\vec{j}\times\vec{j}+c\vec{k}\times\vec{j}=b</math>
::::<math>{d\vec{i}\over dt}\times\vec{k}=a\vec{i}\times\vec{k}+b\vec{j}\times\vec{k}+c\vec{k}\times\vec{k}=c</math>
Si ottiene
::::<math>{d\vec{i}\over dt}=({d\vec{i}\over dt}\times\vec{j})\cdot\vec{j}+({d\vec{i}\over dt}\times\vec{k})\cdot\vec{k}</math>
::::<math>=({d\vec{j}\over dt}\times\vec{k})\cdot\vec{i}\wedge\vec{i}+({d\vec{k}\over dt}\times\vec{i})\cdot\vec{j}\wedge\vec{i}+({d\vec{i}\over dt}\times{j})\cdot\vec{k}\wedge{i}</math>.
E se definiamo:
::::<math>\vec{\Omega}=({d\vec{j}\over dt}\times\vec{k})\cdot\vec{i}+({d\vec{k}\over dt}\times\vec{i})\cdot\vec{j}+({d\vec{i}\over dt}\times\vec{j})\cdot\vec{k}</math>
otteniamo le (10):
:::::::::::{| {{prettytable}}
|-bgcolor=#eOffff
!<math>{d\vec{i}\over dt}=\vec{\Omega}\wedge\vec{i}</math>
ed analoghe.
|}
====--''accelerazione di un punto di un corpo rigido''====
Abbiamo precedentemente visto che la velocità di un punto '''P''' appartenente ad un corpo rigido è data da:
::::<math>\vec{v_{p}}=\vec{v_{0}}+\vec{\Omega}\wedge\vec{(OP)}</math>
Essendo '''0''' la velocità di un punto del corpo rigido assunto come origine degli assi mobili ed <math>\vec{\Omega}</math> il vettore velocità angolare del corpo rigido. Ovviamente per ottenere l'accelerazione di '''P''' bisogna derivare vettorialmente la (13) rispetto al tempo:
::::<math>{d\over dt}\vec{v_{p}}={d\over dt}\vec{v_{0}}+\vec{\Omega}\wedge{d\over dt}\vec{(OP)}+{d\over dt}\vec{\Omega}\wedge\vec{(OP)}</math>
Cioè:
:::::::{| {{prettytable}}
|-bgcolor=#eOffff
!<math>\vec{a_{p}}=\vec{a_{0}}+\vec{\Omega}\wedge\vec{\Omega}\wedge\vec{(OP)}+{d\over dt}\vec{\Omega}\wedge\vec{(OP)}</math>
|}
In quanto per le (13) si ha:
::::<math>{d\over dt}\vec{(OP)}= \vec{v_{p}}-\vec{V_{0}}= \vec{\Omega}\wedge\vec{(OP)}</math>
E ricordando le formule del prodotto vettoriale doppio si ottiene:
::::<math>\vec{\Omega}\wedge(\vec{\Omega}\wedge\vec{(OP)})=(\vec{\Omega}\times\vec{(OP)})\cdot\vec{\Omega}-(\vec{\Omega}\times\vec{\Omega})\cdot\vec{(OP)}</math>
Le espresioni cartesiane delle componenti di <math>\vec{a_{p}}</math> rispetto agli assi mobili '''x''', '''y''', '''z''' sono date da:
::::<math>\ddot{x}=\dot{u_{0}}+(px+qy+rz)p-(p^2+q^2+r^2)x+(\dot{q}z-\dot{z}y)</math>
::::<math>\ddot{y}=\dot{v_{0}}+(px+qy+rz)q-(p^2+q^2+r^2)y+(\dot{z}x-\dot{p}z)</math>
::::<math>\ddot{z}=\dot{w_{o}}+(px+qy+rz)r-(p^2+q^2+r^2)z+(\dot{p}y-\dot{q}x)</math>
Essendo <math>\ p,\ q,\ r</math> le componenti di <math>\vec{\Omega}</math> rispetto agli assi mobili <math>\ x,\ y,\ z</math> e <math>\ u_{o},\ v_{o},\ w_{o}</math> le componenti di <math>\vec{v_{o}}</math> in definitiva avremo
::::<math>\ddot{x}=\dot{u_{o}}-(q^2+r^2)x+(qy-rz)p+(\dot{q}z-\dot{z}y)</math>
::::<math>\ddot{y}=\dot{v_{o}}-(p^2+r^2)y+(px-rz)q+(\dot{r}x-\dot{p}z)</math>
::::<math>\ddot{z}=\dot{w_{o}}-(p^2+q^2)z+(px+qy)r+(\dot{p}y-\dot{q}x)</math>
====Formule riassuntive di Cinematica dei moti rigidi====
====--''velocità''====
Se '''P''' è un punto di un corpo rigido e se ''x'',''y'' e ''z'' sono le coordinate di questo punto rispetto agli assi '''O''' '''x''' '''y''' '''z''' solidali con il corpo, le componenti della velocità assoluta di '''P''' sugli assi mobili '''<math>x_{m}</math>''' '''<math>y_{m}</math>''' '''<math>z_{m}</math>''' sono date proiettando la formula fondamentale:
::::<math>\vec{v_{p}}=\vec{v_{o}}\wedge(\vec{OP)}</math>
sugli assi <math>\ x,\ y,\ z</math>.
Chiamando con <math>\ u_{o},\ v_{o},\ w_{o}</math> le componenti della velocità assoluta di <math>\ O</math> (traslazione) in tre assi <math>\ x,\ y,\ z</math> (mobili), e con <math>\ p,\ q,\ r</math> le componenti del vettore velocità angolare <math>\vec{\Omega}</math> in tre assi mobili otteniamo:
::::::::::::::{| {{prettitable}}
!<math>\dot{x}=u=u_{o}+(qz-zy)</math>
|-
!<math>\dot{y}=v=v_{o}+(rx-pz)</math>
|-
!<math>\dot{z}=w=w_{o}+(py-qz)</math>
|}
I valori <math>\ u_{o},\ v_{o},\ w_{o},\ p,\ q,\ r,</math> si chiamano i sei parametri del moto rigido.
===Cinematica del punto nel moto relativo===
====--''teorema di Coriolis''====
Consideriamo un punto ''P'' in moto nello spazio, e supponiamo che il moto del punto sia individuato dalla conoscenza delle:
::::<math>\ x=x(t)</math>
::::<math>\ y=y(t)</math>
::::<math>\ z=z(t)</math>
rispetto ad una terna mobile di moto più generale (traslazione e rotazione).
Il problema che ora ci proponiamo è quello di determinare le velocità e le accelerazioni del punto ''P'' rispetto ad un sistema di assi fissi dalla conoscenza delle velocità e delle accelerazioni rispetto agli assi mobili.
La risoluzione di questo problema richiede quindi la conoscenza delle seguenti grandezze:
:1-Parametri del moto della terna mobile.
:2-Parametri del moto del punto ''P'' rispetto alla terna mobile.
====--''velocità assoluta''====
<math>O_{m}</math>,x,y,z è il sistema di assi mobilii ed il suo moto è individuato dalle componenti <math>u_{o}</math>, <math>v_{o}</math>, <math>w_{o}</math> della velocità di traslazione <math>V_{o}</math> del punto <math>O_{m}</math> rispetto agli assi fissi, e dal vettore rotazione <math>\bar{\mathbf{\Omega}}</math> diretto come l'asse istantaneo di rotazione e definito dalle sue tre componenti '''p''', '''q''', '''r''' rispetto agli assi mobili.
Se <math>O_{f}</math> è l'origie degli assi fissi avremo:
::::<math>\vec{O_{f}P}=\vec{O_{f}O_{m}}+\vec{O_{m}P}</math>
La velocità assoluta è data da:
::::<math>{d(\vec{O_{f}P})\over dt}={d(\vec{O_{f}O_{m}})\over dt}+{d\over dt}(x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k})={d\vec{O_{f}O_{m}}\over dt}+x{d\vec{i}\over dt}+y{d\vec{J}\over dt}+z{d\vec{k}\over dt}+\dot{x}\vec{i}+\dot{y}\vec{j}+\dot{z}\vec{k}</math>
:::::::::{|ptettytable}}
|-bgcolor=eOffff
!<math>\vec{V_{a}}=\vec{V_{o}}+\vec\Omega\wedge{\vec{OP}}+\dot{x}\vec{i}+\dot{y}\vec{j}+\dot{z}\vec{k}</math>
|}
Il termine
::::<math>\vec{V_{r}}=\dot{x}\vec{i}+\dot{y}\vec{j}+\dot{z}\vec{k}</math>
di quest'ultima equazione rappresenta la velocità del punto '''P''' qualora la terna <math>O_{m}xyz</math> fosse fissa, cioè rappresenta la velocita di '''P''' relativa alla terna mobile ed è quindi chiamata velocita relativa.
mentre il termine:
::::<math>\vec{V_{t}}=\vec{V_{o}}+\vec\Omega\wedge{\vec{OP}}</math>
rappresenta la velocità del punto '''P''' come se fosse rigidamente collegato con la terna mobile. Questo termine è noto come velocita di trascinamento <math>\vec{V_{t}}</math>. Concludendo possaimo dire che la velocità assoluta è data:
:::::::::{| {{prettytable}}
|-bgcolor=eOffff
!<math>\vec{V_{a}}=\vec{V_{t}}+\vec{V_{r}}</math>
|}
====--''accelerazione assoluta''====
La derivata rispetto al tempo della formula precedente rappresenta ovviamente l'accelerazione assoluta. Pertanto:
<math>\vec{a_{a}}={d\vec{V_{o}}\over dt}+\vec{\Omega}\wedge{d\vec{OP}\over dt}+{d\vec{\Omega}\over dt}\wedge\vec{OP}+\dot{x}{d\vec{i}\over dt}+\dot{y}{d\vec{j}\over dt}+\dot{z}{d\vec{k}\over dt}+\ddot{x}{d\vec{i}\over dt}+\ddot{y}{d\vec{j}\over dt}+\ddot{z}{d\vec{k}\over dt}</math>
<math>={d\vec{V_{o}}\over dt}\wedge{[(\dot{x}\vec{i}+\dot{y}\vec{j}+\dot{z}\vec{k})+(x{d\vec{i}\over dt}+y{d\vec{j}\over dt}+z{d\vec{k}\over dt})]}+{d\vec{\Omega}\over dt}\wedge{\vec{OP}}+\dot{x}{d\vec{i}\over dt}+\dot{y}{d\vec{j}\over dt}+\dot{z}{d\vec{k}\over dt}+\ddot{x}\vec{i}+\ddot{y}\vec{j}+\ddot{x}\vec{k}</math>
Sviluppando otteniamo tre termini:
:::::::::<math>(1)[{d\vec{V_{o}}\over dt}+\vec{\Omega}\wedge{(x{d\vec{i}\over dt}+y{d\vec{j}\over dt}+z{d\vec{k}\over dt})}+{d\vec{\Omega}\over dt}\wedge{\vec{OP}}]</math>
:::::::::<math>(2)[\dot{x}{d\vec{i}\over dt}+\dot{y}{d\vec{j}\over dt}+\dot{z}{d\vec{k}\over dt}+\vec{\Omega}\wedge{(\dot{x}\vec{i}+\dot{y}\vec{j}+\dot{z}\vec{k})}]</math>
:::::::::<math>(3)[\vec{a_{r}}=\ddot{x}\vec{i}+\ddot{y}\vec{j}+\ddot{z}\vec{k}]</math>
Il primo termine, ricordando che <math>{d\vec{i}\over dt}=\vec{\Omega}\wedge{\vec{i}}</math> ed analoghe per <math>\vec{j}</math> e <math>\vec{k}</math>, rappresenta l'accelerazione di trascinamento di '''P''' come rigidamente connesso con <math>O_{m}</math>xyz:
::::::::{| {{prettytable}}
|-bgcolor=eOffff
!<math>\vec{a_{t}}={d\vec{V_{o}}\over dt}+\vec{\Omega}\wedge{\vec{\Omega}}\wedge{\vec{OP}}+{d\vec{\Omega}\over dt}\wedge{\vec{OP}}</math>
|}
Il secondo termine , ricordando sempre che <math>{d\vec{i}\over dt}=\vec{\Omega}\wedge{\vec{i}} </math>, è quello che si chiama l'accelerazione complementare o di Coriolis:
::::::::::{| {{prettytable}}
|-bgcolor=eOffff
!<math>\vec{a_{c}}=2\vec{\Omega}\wedge{\vec{V_{R}}}</math>
|}
Il terzo termine è l'accelerazione di di '''P''' rispetto ad <math>O_{m}</math>xyz come se questo fosse fermo nello spazio ed è, quindi, l'accelerazione relativa:
:::::::::{| {{prettytable}}
|-bgcolor=eOffff
!<math>\vec{a_{r}}=\ddot{x}{d\vec{i}\over dt}+\ddot{y}{d\vec{j}\over dt}+\ddot{z}{d\vec{k}}</math>
|}
Se la terna mobile si muove di moto di traslazione uniforme, cioè <math>{d\vec{V_{o}}\over dt}=0</math> e <math>\vec{\Omega}=0</math>, l'accelerazione assoluta del punto coincide esattamente con l'accelerazione relativa. Se la terna mobile si muove unicamente di moto traslatorio, cioè <math>\vec{\Omega}=0</math>, si ha:
::::::::::{| {{prettytable}}
|-bgcolor=eOffff
!<math>\vec{a_{a}}={d\vec{V_{o}}\over dt}+\vec{a_{r}}</math>
|}
Qualora la terna si muova solamente di moto rotatorio uniforme rispetto ad un asse, <math>\vec{\Omega}=cost.</math> , vale:
:::::::{| {{prettytable}}
|-bgcolor=eOffff
!<math>\vec{a_{a}}=\vec{\Omega}\wedge (\vec{\Omega}\wedge\vec{OP})+\vec{a_{c}}+\vec{a_{r}}</math>
|}
==CAP.II°-Statica==
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