Analisi matematica I/Limite/1: differenze tra le versioni
Contenuto cancellato Contenuto aggiunto
Riga 262:
}}
La [[dimostrazione]] verrà fatta per ogni singolo punto del [[teorema]].
{{Matematica voce|Dimostrazione|Operazioni con i limiti '''(1)'''|
Preso
:<math>\left | f(x)-l_1 \right | < \epsilon \!</math>
otteniamo direttamente
:<math>c \cdot \left | f(x)-l_1 \right | < c \cdot \epsilon \to \left | c \cdot f(x)- c \cdot l_1 \right | < c \cdot \epsilon \!</math>
a questo punto il [[teorema]] è dimostrato perchè concorda con la [[definizione]] di '''limite'''.
}}
{{Matematica voce|Dimostrazione|Operazioni con i limiti '''(2)'''|
Presi
:<math>\left | f(x)-l_1 \right | < \epsilon \!</math> e <math>\left | g(x)-l_2 \right | < \epsilon \!</math>
dall'espressione
:<math>\left | f(x) \pm g(x) - \left ( l_1 \pm l_2 \right ) \right | \!</math><br/>
per la [[disuguaglianza triangolare]] otteniamo
:<math>\left | f(x) \pm g(x) - \left ( l_1 \pm l_2 \right ) \right | < \left | f(x) - l_1 \right | + \left | g(x) - l_2 \right | \!</math>
:<math>\left | f(x) \pm g(x) - \left ( l_1 \pm l_2 \right ) \right | < 2 \cdot \epsilon \!</math>
a questo punto il [[teorema]] è dimostrato perchè concorda con la [[definizione]] di '''limite'''.
}}
{{Matematica voce|Dimostrazione|Operazioni con i limiti '''(3)'''|
Preso
:<math>f(x) \cdot g(x) - l_1 \cdot l_2 \!</math><br/>
aggiungiamo e togliamo <math>g(x) \cdot l_1 \!</math> otteniamo
:<math>g(x) \cdot \left ( f(x) - l_1 \right ) + l_1 \cdot \left ( g(x) - l_2 \right ) \!</math>
posti
:<math> \left | f(x) - l_1 \right | < \epsilon \!</math> e <math>\left | g(x) - l_2 \right | < \epsilon \!</math>
}}
=== Forme di indecisione ===
| |||