Analisi matematica I/Limite/1: differenze tra le versioni
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{{Matematica
Sia
:<math>l \in \reals \!</math>
preso un [[intorno]] <math>V \!</math> di <math>l \!</math>, <math>(l-\epsilon, l+\epsilon) \!</math> esistono [[intorno|intorni]] <math>U_1 \!</math> e <math>U_2 \!</math> di <math>x_0 \!</math>.
Per definizione abbiamo
:<math> x \ne x_0 \in U_1 \implies f(x) \in V \!</math>
e
:<math> x \ne x_0 \in U_2 \implies h(x) \in V \!</math>
Allora, preso l'[[intorno]] <math>U = U_1 \cap U_2 \,\!</math> di <math>x_0 \!</math>, succede, per ipotesi, che:
:<math>l-\epsilon \le f(x) \le g(x) \le h(x) \le l+\epsilon \!</math>
cioè
:<math> x \in U \backslash \left \{ x_0 \right \} \implies g(x) \in V \!</math>
}}
Del tutto analoga la dimostrazione per i casi <math>l = \pm \infty \!</math>, ma in questi due casi, basterà sono una [[funzione]] che maggiori (o minori) la [[funzione]] che stiamo studiando.
=== Esempio ===
L'esempio canonico di applicazione di questo [[teorema]] è la verifica del '''limite'''
:<math>\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \!</math>
Prendiamo come riferimento l'immagine a destra. Sia <math>0<x<\frac{\pi}{2}\!</math> la misura dell'[[arco]] (in [[radianti]]) di [[circonferenza]] di [[centro]] O e [[Raggio (geometria)|raggio]]
<div style="float:right">[[Image:Limsinxoverx.png|none|]]</div>
:<math>\overline{OA} = 1 \!</math>
Allora
:<math>\overline{PH} = \sin x\!</math>
:<math>\overline{QA} = \tan x\!</math>
Si ha dunque
:<math>\sin x < x < \tan x \!</math>
da cui, [[Divisione (matematica)|dividendo]] per <math>\sin x\!</math>
:<math>1 < \frac{x}{\sin x} < \frac{1}{\cos x} \!</math>
prendendo i [[reciproco|reciproci]]
:<math>\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1 \!</math>
sapendo che la [[disuguaglianza]] non cambia per <math>-x \!</math> e che <math>\lim_{x\to 0} \cos x = 1 \!</math>, sfruttando il '''[[teorema]] del confronto''' otteniamo
:<math>\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \!</math>
== Calcolo dei limiti ==
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