Analisi matematica I/Limite/1: differenze tra le versioni
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= Limite di funzioni da
Lo scopo dell'operazione di '''limite''' è di descrivere il comportamento di una [[funzione]] vicino ad un [[punto di accumulazione]] del suo dominio. Il concetto di '''limite''' è utilizzato in [[analisi matematica|analisi]] per poi poter dare la definizione di [[Funzione continua|continuità]] e di [[derivata]]
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Se il '''limite''' di una [[funzione]] è il seguente <math>\lim_{x \to x_0}f(x) = \infty </math> la funzione si dice '''infinita'''.
=== Esempio 1 ===
<span style="font-size:120%">''Provare che <math>\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = +\infty \!</math>''</span>
:Prendiamo un [[intorno]] di <math>+\infty \!</math>, otteniamo:
::<math>\kappa \le f(x) \!</math>
:perciò:
::<math>\kappa \le \frac{1}{x^2} \!</math>
::<math>x^2 \le \frac{1}{\kappa} \!</math>
:quindi basterà prendere:
::<math>x \in \left ( -\frac{1}{\sqrt{\kappa}}, +\frac{1}{\sqrt{\kappa}} \right ) \!</math>
:che è un [[intorno]] di 0, il '''limite''' è verificato.
=== Esempio 2 ===
<span style="font-size:120%">''Provare che <math>\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{x+2} = 1 \!</math>''</span>
:Prendiamo un [[intorno]] di 1, otteniamo:
::<math>1-\epsilon \le \frac{x}{x+2} \le 1+\epsilon \!</math>
:separando la [[disuguaglianza]]:
::<math>1-\epsilon \le \frac{x}{x+2} \mbox{ e } \frac{x}{x+2} \le 1+\epsilon \!</math>
:dalle quali otteniamo direttamente:
::<math>x \ge 2 \left ( \frac{1}{\epsilon} - 1 \right ) \mbox{ e } x \ge -2 \left ( \frac{1}{\epsilon} + 1 \right ) \!</math>
:dalle quali, per <math>\epsilon > 0 \!</math>:
::<math>x \ge 2 \left ( \frac{1}{\epsilon} - 1 \right ) > -2 \left ( \frac{1}{\epsilon} + 1 \right ) \!</math>
:che è un [[intorno]] di <math>+\infty \,\!</math>, perciò il '''limite''' è verificato.
=== Esempio 3 ===
<span style="font-size:120%">''Provare che <math>\lim_{x \to +\infty} \sin x \!</math> non esiste''</span>
:Sappiamo che la [[funzione]] [[Seno (trigonometria)|seno]] e limitata perciò
::<math>\sin x \in \left [ -1; +1 \right ] \!</math>
:dalla quale
::<math>x \in \left [ -\frac{\pi}{2}+2k\pi; +\frac{\pi}{2}+2k\pi \right ] \!</math>
:che non è un [[intorno]] di <math>+\infty \!</math>, perciò il '''limite''' non esiste.
== Limite destro, sinistro, per eccesso, per difetto ==
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