Logica matematica/Calcolo delle proposizioni/Esercizi su algebra delle proposizioni: differenze tra le versioni
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In questo primo esempio utilizzeremo le regole di manipolazione algebrica per ridurre la regola di contrapposizione a Vero, dimostrando che si tratta di una tautologia manipolando i simboli e non applicando in modo esaustivo tutte le possibili interpretazioni della variabili atomiche come abbiamo fatto finora con il metodo delle tabelle di verità.
{|
|1
|<math>(A \rightarrow B) \rightarrow (\neg B \rightarrow \neg A)</math>
|espressione della regola di contrapposizione
|-
|2
|<math>\neg (A \rightarrow B) \vee (\neg B \rightarrow \neg A)</math>
| trasformata l' implicazione centrale in disgiunzione
|-
|3
|<math>\neg (\neg A \vee B) \vee (\neg\neg B \vee \neg A)</math>
| trasformate le due implicazioni in disgiunzioni
|-
|4
|<math>(\neg \neg A \wedge \neg B) \vee (\neg\neg B \vee \neg A)</math>
| applicata deMorgan alla prima subformula
|-
|5
|<math>(A \wedge \neg B) \vee B \vee \neg A</math>
| eliminate le doppie negazioni
|-
|6
|<math>((A \vee B) \wedge (\neg B \vee B) ) \vee \neg A</math>
| distribuita la prima disgiunzione
|-
|7
|<math>((A \vee B) \wedge \top) \vee \neg A</math>
| sostituita la disgiunzione di B e -B con T
|-
|8
|<math>(A \vee B) \vee \neg A</math>
| elimitata la congiunzione con T
|-
|9
|<math> (A \vee \neg A) \vee B</math>
| riordinata e associata A con -A
|-
|10
|<math> \top \vee B</math>
| semplificata la disgiunzione tra A e -A
|-
|11
|<math> \top </math>
| E' una tautologia!
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|}
Questo modo di operare sta anticipando quello che vedremo nella prossime sezioni: come dimostrare che una proposizione è vera o soddisfacibile per via sintattiuca e non semantica.
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