Logica matematica: differenze tra le versioni

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#[[Logica/Computabilita'|Computabilità]]
#[[Logica/Incompletezza|Incompletezza]]
 
La logica è lo studio delle regole del "ragionare".
 
Sin dall' antichità filosofi e matematici hanno inseguito il sogno di identificare le vie di ragionamento corretto, che partendo da premesse corrette possano derivare conclusioni corrette.
 
Il primo grande che ricordiamo è il filosofo Aristotele, da cui ci arriva il termine "sillogismo", per millenni sinonimo di ragionamento.
 
Euclide ci ha lasciato la geometria derivata da 5 soli assiomi, erigendo un monumento all' arte delle conseguenze logiche.
 
Leibniz sognava un calcolo del ragionare, la sua speranza era che i filosofi per dirimere i problemi si esortassero con un "calculemus" anzichè "disquisimus".
 
E' nel 1800, con il lavoro di Boole, che la logica si stacca dalla filosofia e diventa una branca della matematica. Boole si è accorto che le regole del pensiero possono essere esplorate con metodi matematici, ed ha fondato l' algebra che porta il suo nome.
 
Verso la fine dell' 800, Frege compie il primo tentativo di dare una fondazione completamente basata su regole logiche all' intero edificio della matematica. Ma quando la sua monumentale oprera era già in stampa Russel identificò dei paradossi che la invalidavano. Se questo fu un terribile smacco per Frege, lo fu ancora di più per la matematica: la casa era costruita sulla sabbia!
 
La risposta fù il il programma formalista di Hilbert. Di nuovo un sogno: con pochi assiomi autoevidenti, come aveva fatto Euclide per la geometria, e regole logiche finitistiche, ricostruire l' intero edificio, questa volta saldamente posato sulla roccia della logica.
 
Ma Goedel, nel 1931 con il suo famoso teorema di incompletezza, ha spezzato questo sogno: ogni sistema sufficientemente ricco da contenere l' aritmentica non può essere esplorato completamente partendo da pochi assiomi e regole finitistiche.