Fisica classica/Onde elettromagnetiche: differenze tra le versioni

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La grandezza costante vettoriale <math>\vec A_o\ </math> ha le dimensioni di campo elettrico per una lunghezza, quindi allontanandosi l'ampiezza del campo elettrico va con l'inverso della distanza dal centro della distribuzione. La caratteristica trasversale viene ovviamente mantenuta per cui la direzione di <math>\vec A_o\ </math> è perpendicolare alla direzione radiale.
 
=== Il vettore di Poynting ===
L'equazioni di Maxwell ammettono come soluzioni le onde elettromagnetiche, le quali per la loro propagazione non necessitano di nessun mezzo.
 
Le onde elettromagnetiche trasportano energia come è chiaro nella esperienza pratica, e vedremo che posseggono anche quantità di moto. Per quantificare l'energia trasportata facciamo ricorso alle proprietà elementari della materia poco densa, quindi ci riferiamo a [[w:Gas_perfetto|gas rarefatti]] o [[w:Plasma_%28fisica%29|plasmi]]. La trattazione potrebbe essere fatta in maniera più generale, ma si sarebbe dovute considerare la forma più generale delle equazioni di Maxwell in presenza di materia e questo appesantisce la trattazione. La materia ci serve qui per prevedere la presenza nel volume <math>T\ </math> attraversato dall'onda elettromagnetica di cariche libere <math>q\ </math> indipendenti l'una dall'altra. La [[w:Forza_di_Lorentz|forza di Lorentz]] agente su ogni singola carica <math>q\ </math> con velocità istantanea <math>\vec v(t)\ </math> sarà:
 
{{Equazione|eq=<math>\vec F=q[\vec E(t)+\vec v(t)\times \vec B(t)]</math>|id=17}}
 
Indichiamo genericamente il campo elettromagnetico con <math>\vec E(t)\ </math> e <math>\vec B(t)\ </math>. La potenza media dissipata (la linea orizzontale sopra la formula indica tale operazione di media)
da tale campo elettrico e magnetico variabile nel tempo sarà:
 
{{Equazione|eq=<math>\overline {W}=\overline {q[\vec E(t)+\vec v(t)\times \vec B(t)]\cdot \vec v(t)}=\overline {q\vec E(t)\cdot \vec v(t)}</math>|id=18}}
 
Essendo ovviamente <math>[\vec v(t)\times \vec B(t)]\cdot \vec v(t)\equiv 0\ </math>. La potenza totale mediamente dissipata nel volume <math>T\ </math> dove sono presenti <math>dN=nd\tau \ </math> cariche, <math>n\ </math> è il numero di cariche per unità di volume ed <math>d\tau\ </math> è l'elemento di volume di <math>T\ </math>. L'operazione di integrazione se il volume è sufficientemente grande fa mediare la potenza, per cui elimino il segno di media:
 
{{Equazione|eq=<math>\overline {W}=\int_Nq\vec E(t)\cdot \vec v(t)dN =\int_Tnq\vec E(t)\cdot \vec v(t)d\tau =\int_T \vec E\cdot \vec Jd\tau </math>|id=19}}
 
Tale equazione rappresenta una estensione della [[w:Effetto_Joule|legge di Joule]] in forma differenziale. Dalla IV equazione (11) di [[Fisica_classica/Equazioni_di_Maxwell|Maxwell]]
 
{{Equazione|eq=<math>W=\frac 1{\mu_o} \int_T \vec E\cdot (\vec \nabla \times \vec B)d\tau -\frac 1{c^2}\int_T \vec E(t)\cdot \frac {\partial \vec E}{\partial t}</math>|id=20}}
 
Date due grandezze vettoriali, in questo caso <math>\vec E(t)\ </math> e <math>\vec B(t)\ </math>, si può dimostrare esplicitando la divergenza ed il rotore che:
 
:<math>\vec E\cdot (\vec \nabla \times \vec B)=-\vec \nabla \cdot (\vec E\times \vec B)+\vec B\cdot (\vec \nabla \times \vec E)</math>
 
sostituendo l'ultima eguaglianza vettoriale nella eq.20 si ha che:
 
{{Equazione|eq=<math>W=-\frac 1{\mu_o} \int_T \vec \nabla \cdot (\vec E\times \vec B)d\tau +\frac 1{\mu_o} \int_T \vec B\cdot (\vec \nabla \times \vec E)d\tau -\frac 1{c^2}\int_T \vec E(t)\cdot \frac {\partial \vec E}{\partial t}</math>|id=21}}
 
Se sostituiamo nell'eq.21 la legge di Faraday in forma differenziale (10) di [[Fisica_classica/Equazioni_di_Maxwell|Maxwell]] <math>\vec \nabla \times \vec E=-\frac {\partial \vec B}{\partial t}\ </math> si avrà che la potenza media dissipata nel volume vale:
 
{{Equazione|eq=<math>W=-\frac 1{\mu_o} \int_T \vec \nabla \cdot (\vec E\times \vec B)d\tau -\frac 1{\mu_o} \int_T \vec B\cdot \frac {\partial \vec B}{\partial t}d\tau -\frac 1{c^2}\int_T \vec E(t)\cdot \frac {\partial \vec E}{\partial t}</math>|id=22}}
 
Il primo integrale, mediante il teorema di Gauss, si può trasformare in un integrale esteso alla superficie <math>S\ </math> che delimita il volume <math>T\ </math>, mentre invertendo il segno di derivata temporale con il segno di integrale nel secondo e terzo termine e raggruppando si ha che:
 
{{Equazione|eq=<math>W=- \int_S (\frac 1{\mu_o}\vec E\times \vec B)\cdot \vec {dS}-\frac 12 \frac {\partial }{\partial t}\left[ \int_T \left( \frac {B^2}{\mu_o}+\epsilon_o E^2\right) d\tau \right]</math>|id=23}}
 
Il secondo termine è la variazione di energia elettrica e magnetica all'interno del volume (quindi niente di nuovo rispetto alla elettrostatica e la magnetostatica), mentre la grandezza nuova è il vettore di Poynting:
 
;<math>\vec I=\frac 1{\mu_o}\vec E\times \vec B\ </math>
 
che rappresenta la potenza trasportata dall'onda elettromagnetica per unità di superficie . Come si vede la direzione di <math>\vec I\ </math> , essendo mutuamente perpendicolare ai vettori trasversali, è lungo la direzione di propagazione dell'onda stessa. Le dimensioni del vettore di Poynting sono quindi quelle di una energia diviso un tempo ed una lunghezza al quadrato. La massima potenza dissipabile da un'onda elettromagnetica per ragioni di conservazione dell'energia è ovviamente proprio l'intensità del vettore di Poynting.
Se si ha una sorgente puntiforme di onde elettromagnetiche, quindi l'onda ha una simmetria sferica, mentre l'intensità dei campi elettrici e magnetici dell'onda diminuiscono con <math>1/r\ </math>, l'intensità del vettore di Poynting diminuisce con il quadrato della distanza dalla sorgente. Questo garantisce che, se non viene assorbita l'onda, in condizioni stazionarie in tutte le sfere concentriche vi sia istante per istante la stessa energia e quindi l'espressione implica la conservazione dell'energia. Notiamo come nel ragionamento fatto sia stata la parte elettrica dell'onda che ha compiuto lavoro sulle cariche dissipando energia.
 
La quantità di moto trasportata da un'onda elettromagnetica, potrebbe in maniera formale ricavarsi in forma generale come è stato fatto per ricavare l'energia: il ragionamento sarebbe complicato dal fatto di dovere introdurre il [[w:Tensore_energia_impulso|tensore di Maxwell]]. Si può semplificare il ragionamento considerando il caso microscopico per un'onda progressiva che dissipa parte della energia interagendo con un insieme di cariche indipendenti. Questa ultima ipotesi è eguale a quella fatta precedente per ricavare l'energia media dissipata da un'onda elettromagnetica.
 
Quindi se consideriamo una superficie normale alla direzione di propagazione dell'onda <math>\delta I\ </math> in cui è presente una carica <math>\Delta Q\ </math> e se da tale superficie viene assorbita una frazione <math>\Delta |I|\ </math> della onda elettromagnetica che l'attraversa. Le cariche mediamente acquisteranno per effetto di tale assorbimento una velocità nella direzione istantanea del campo elettrico:
 
{{Equazione|eq=<math>\Delta |I|\Delta S=\Delta Q |v_E||E|\ </math>|id=24}}
 
La forza media esercitata da tale onda sarà data da:
 
{{Equazione|eq=<math>\overline {\vec {F(t)}}=\Delta Q\overline {\vec {E(t)}}+q\overline {\vec {v(t)}\times \vec {B(t)}}=\Delta Q \overline {\vec {v(t)}\times \vec {B(t)}}\ </math>|id=25}}
 
Ma <math>\vec v(t)=\vec v_E\ </math>, e <math>\vec B=\frac 1{c^2}\vec c \times \vec E</math>, quindi possiamo scrivere che:
 
:<math>|\vec {v(t)}\times \vec {B(t)}|=\frac {|v_E||E|}{c}\ </math>
 
con direzione eguale a quella dell'onda elettromagnetica stessa, quindi sostituendo tutte
queste espressioni nella eq. 25 si ha che la pressione <math>p\ </math> vale:
 
:<math>p=\frac {\overline {\vec {F(t)}}}{\Delta S}=\Delta Q\frac {|v_E||E|}{c\Delta S}\ </math>
 
Ma se sostituiamo in questa espressione la eq.24 si ha che:
 
{{Equazione|eq=<math>p=\frac {|\Delta I|}c\ </math>|id=26}}
 
Quindi la pressione esercitata dalla radiazione è pari alla variazione di intensità dell'onda elettromagnetica stessa. Quindi se venisse assorbita totalmente la pressione eserciata sarebbe:
 
:<math>p=\frac {|I|}c\ </math>
 
Se invece fosse riflessa totalmente la pressione esercitata sarebbe:
 
:<math>p=\frac {2|I|}c\ </math>
 
=== Campi elettromagnetici nei dielettrici===
 
Se si riscrivono le equazioni di Maxwell in presenza di materia, immaginando che non vi siano nè cariche libere nè correnti di conduzione, si arriva anche nei dielettrici, cioè i materiali isolanti, ad una equazione delle onde:
 
{{Equazione|eq=<math>\nabla^2 \vec E=\frac 1{c'^2} \frac {\partial^2 \vec E}{\partial t^2}</math>|id=26}}
 
La differenza è che la velocità della luce ha un valore inferiore a quello del vuoto:
 
:<math>c'=\frac cn\ </math>
 
Infatti <math>n\ </math> chiamato indice di rifrazione è sempre maggiore di 1. Finché le onde elettromagnetiche hanno frequenze basse ( minori di qualche 100 di MHz) <math>n\ </math> è semplicemente
 
:<math>n=\sqrt{\epsilon_r \mu_r}\ </math>
 
Dove <math>\epsilon_r </math> è la [[w:Costante_dielettrica|costante dielettrica]] relativa (sempre maggiore di 1) e
<math>\mu_r\ </math> è detta [[w:Permeabilit%C3%A0_magnetica|permeabiltà magnetica]] relativa, che nella maggior parte delle sostanze è prossima all'unità. Quindi se consideriamo, ad esempio, l'acqua la quale ha una costante dielettrica relativa pari a 80, la velocità della luce per quanto riguarda le basse frequenze è circa 1/9 di quella nel vuoto.
 
A frequenze più alte, se si tiene in considerazione la spiegazione microscopica della costante dielettrica relativa, bisogna introdurre la [[w:Polarizzazione_nei_dielettrici:|polarizzazione del dielettrico]]. La Polarizzazione non risponde istantaneamente al campo elettrico presente localmente. Inoltre vi è un assorbimento delle onde elettromagnetiche da parte del dielettrico.
Per tenere in conto di entrambi gli aspetti si introduce un indice di rifrazione complesso (indicato con un tilde) :
 
:<math>\tilde{n}=n-i\kappa\ </math>
 
Dove la parte reale determina la velocità (di fase) dell'onda alla frequenza considerata,
mentre ''κ'' chiamato coefficiente di estinzione, dà un'idea di quanta parte dell'onda viene assorbita nell'attraversamento del mezzo. Sia ''n'' che ''κ'' dipendono dalla frequenza.
 
La variazione di ''n'' va sotto il nome di dispersione, fenomeno molto evidente in ottica ma presente in vasto intervallo di frequenze. L'equazione microscopica che descrive l'azione del campo elettrico sui dipoli elementari di cui è fatta la materia è simile a quella di un [[w:Oscillatore_forzato#Moto_armonico_forzato_con_termine_di_smorzamento|oscillatore armonico forzato con un termine di smorzamento]]. Tale sistema ammette una frequenza di risonanza, al crescere della frequenza, fino a quando il materiale ha un piccolo assorbimento ''κ'',
''n'' tende a crescere. In corrispondenza della frequenza di risonanza dove ''κ''
è massimo ''n'' può diventare inferiore all'unità. In pratica si ha che ad esempio l'acqua alle frequenze ottiche ha un indice di rifrazione di appena 1.33.
 
Un semplice modello a livello atomico rende conto di cosa avviene. Consideriamo un [[w:atomo|atomo]] di [[w:Numero_atomico|numero atomico]] <math>Z\ </math>, immaginato come una sfera. In assenza di campo elettrico il centro delle cariche positive: [[w:nucleo|nucleo]] coincide con il centro delle cariche negative (la distribuzione degli [[w:elettrone|elettroni]]). Se applichiamo un campo elettrico esterno <math>\vec E\ </math> avrò che l'atomo si deformerà (molto debolmente)
in quanto il campo elettrico esercita una azione eguale ed opposta sul nucleo e sugli elettroni: la deformazione <math>\delta\ </math> sarà proporzionale al campo elettrico applicato con una costante di proporzionalità <math>\alpha\ </math> dipendente dall'atomo considerato, in maniera tale che
 
:<math>\alpha \vec \delta =Ze \vec E\ </math>
 
Dove <math>e\ </math> è la [[w:Carica_elementare|carica elementare]]. Conoscendo la massa dell'atomo possiamo definire con
 
:<math>\omega_o^2=\frac {\alpha}m\ </math>
 
Cosicchè la deformazione vale (eliminando il simbolo di modulo dal campo elettrico:
 
:<math>\vec \delta =\frac {Ze}{m\omega_o^2}\vec E\ </math>
 
Quindi si ha che viene indotto un momento di dipolo pari a:
 
:<math>\vec p=Ze\delta =\frac {(Ze)^2}{m\omega_o^2}\vec E</math>
 
Se quindi la densità di atomi per unità di volume vale <math>N\ </math> (non si usa il simbolo n per non fare confusione con l'indice di rifrazione):
 
:<math>\vec P=N\frac {(Ze)^2}{m\omega_o^2}\vec E\ </math>
 
Quindi:
 
Essendo anche:
 
:<math>\vec P=\epsilon_o(\epsilon_r-1)\vec E\ </math>
 
si ha che:
 
:<math>\epsilon_r=1+N\frac {(Ze)^2}{\epsilon_o m\omega_o^2}\ </math>
 
Tanto maggiormente gli atomi sono deformabili tanto maggiore sarà la costante dielettrica relativa, così al tendere di <math>N\ </math> a zero la costante dielettrica relativa tende ad 1. Se il campo elettrico è variabile nel tempo con una forma del tipo:
 
:<math>E= E_o e^{j\omega t}\ </math>
 
Notare come per semplicità si sia considerato un caso unidimensionale, per cui si è omesso il simbolo di vettore. L'equazione della dinamica è:
 
:<math>m\ddot \delta+ m\gamma \dot \delta +m\omega_o^2 \delta =ZeE_o e^{j\omega t}\ </math>
 
L'equazione è formalmente eguale a quella di un [[w:Oscillatore_forzato#Moto_armonico_forzato_con_termine_di_smorzamento|oscillatore armonico forzato con un termine di smorzamento]] <math>\gamma\ </math>, che tiene conto delle perdite nel dielettrico. Se la soluzione per <math>\delta\ </math> è del tipo:
 
:<math>\delta =\delta_oe^{j\omega t}\ </math>
 
che sostituita nell'equazione della dinamica si traduce in:
 
:<math>-m\omega^2 \delta_o+ j\omega m\gamma \delta_o +m\omega_o^2 \delta_o =ZeE_o \ </math>
 
da cui:
 
:<math>\delta_o=\frac {ZeE_o}{m(\omega_o^2-\omega^2+j\omega \gamma )}</math>
 
 
Ripetendo il ragionamento precedente, [[w:Mutatis_mutandis|mutatis mutandis]], si ha che:
 
:<math>\vec P=N\frac {(Ze)^2}{m(\omega_o^2-\omega^2+j\omega \gamma)}\vec E\ </math>
 
quindi la costante dielettrica relativa è complessa e la sua espressione è:
 
:<math>\epsilon_r=1+N\frac {(Ze)^2}{\epsilon_o m(\omega_o^2-\omega^2+j\omega \gamma)}\ </math>
 
[[Immagine:Refractive_index_vs_f.png|300px|left]]
[[Immagine:Extinction_coefficient%2C_onde_em.png|300px|right]]
 
Di conseguenza anche l'indice di rifrazione è complesso e vale:
 
:<math>\tilde{n}=\frac 1{\sqrt{\epsilon_r}}=n-j\kappa\ </math>
 
Con
 
:<math>n=1+\frac {N(Ze)^2(\omega_o^2-\omega^2)}{\epsilon_o m[(\omega_o^2-\omega^2)^2+\omega^2 \gamma^2)]}
\ </math>
 
:<math>\kappa=\frac {N(Ze)^2\gamma \omega}{2\epsilon_o m[(\omega_o^2-\omega^2)^2+\omega^2 \gamma^2)]}</math>
 
Il loro comportamento è mostrato nelle figure a fianco.
 
Quindi in corrispondenza della frequenza di risonanza si ha che la velocità della luce aumenta, ma contemporamente aumenta vistosamente l'assorbimento.
 
La rappresentazione esponenziale rende meglio conto del significato di <math>n\ </math> e <math>\kappa\ </math>. Nella rappresentazione esponenziale possiamo scrivere una onda piana monodimensionale propagantesi sull'asse delle <math>x </math>
 
:<math>\vec E=\vec E_oe^{j\omega (t-x/v)}\ </math>
 
Ora se al posto di v sostituiamo <math>c/\tilde{n}\ </math>
 
:<math>\vec E=\vec E_oe^{j\omega [t-(n-j\kappa)x/c]}=\vec E_oe^{-\omega \kappa x/c} e^{j\omega (t-nx/c)}\ </math>
 
Il termine <math>\omega \kappa /c\ </math> detto coefficiente di assorbimento ha le dimensioni di una lunghezza alla -1. Tanto maggiore è il suo valore più rapidamente si estingue lampiezza dell'onda attraversando il mezzo.
 
[[Categoria:Fisica classica|Onde Elettromagnetiche]]