Fisica classica/Suono: differenze tra le versioni

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Quindi la seconda legge della dinamica per l'n-esimo atomo viene scritta come:
 
:{{Equazione|eq=<math>m\frac {d\partial^2u_n}{dt\partial t^2}=\alpha(u_{n+1}+u_{n-1}-2u_n)\ </math>|id=1}}
 
Per dare un maggiore senso fisico all'ultima equazione. Consideriamo il caso particolare di onde lunghe cioè soluzioni di tale equazione con <math>\lambda >> a\ </math>, la derivata spaziale prima di <math>u\ </math> vale circa:
La soluzione di questa
 
equazione è un'onda piana del tipo:
:<math>\frac {\partial u}{\partial x}\approx \frac {u_{n+1}-u_n}a\ </math>
 
e di conseguenza:
 
:<math>\frac {\partial^2 u}{\partial x^2}\approx \frac {\frac {u_{n+1}-u_n}a-\frac {u_{n}-u_{n-1}}a}a=\frac {u_{n+1}+u_{n-1}-2u_n}{a^2}\ </math>
 
Quindi l'eq.1 per le onde lunghe è scrivibile anche come:
 
:<math>m\frac {\partial^2u_n}{\partial t^2}=\alpha a^2 \frac {\partial^2 u}{\partial x^2}\ </math>
 
:<math>\frac {\partial^2u_n}{\partial t^2}=\frac {\alpha}m a^2 \frac {\partial^2 u}{\partial x^2}\ </math>
 
Cioè l'equazione delle onde unidimensionale con:
 
:<math>v=a\sqrt {\frac {\alpha}m}\ </math>
 
Per studiare il caso più generale ritorniamo alla eq.1 considerando la soluzione generale:
equazione è un'onda piana del tipo:
 
:{{Equazione|eq=<math>u_n=Ae^{i(kna+\omega t)}\ </math>|id=2}}
e.m. si chiamano microonde o lontano infrarosso.
 
Solo per frequenze molto basse (lunghezze d'onda grandi) la relazione di dispersione tra
<math>\omega \ </math> e <math>k\ </math> è lineare e la pendenza è la velocità del
suono. Matematicamente vuol dire che se <math>ka/2\ll 1\ </math> posso