Fisica classica/Onde elettromagnetiche: differenze tra le versioni

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{{Equazione|eq=<math>\vec F=q[\vec E(t)+\vec v(t)\times \vec B(t)]</math>|id=17}}
 
Indichiamo genericamente il campo elettromagnetico con <math>\vec E(t)\ </math> e <math>\vec B(t)\ </math>. La potenza media dissipata (la linea orizzontale sopra la formula indica tale operazione di media)
da tale campo elettrico e magnetico variabile nel tempo sarà:
 
{{Equazione|eq=<math>\overline {W}=\overline {q[\vec E(t)+\vec v(t)\times \vec B(t)]\cdot \vec v(t)}=\overline {q\vec E(t)\cdot \vec v(t)}</math>|id=18}}
 
Essendo ovviamente <math>[\vec v(t)\times \vec B(t)]\cdot \vec v(t)\equiv 0\ </math>. La potenza totale mediamente dissipata nel volume <math>T\ </math> dove sono presenti <math>dN=nd\tau \ </math> cariche, <math>n\ </math> è il numero di cariche per unità di volume ed <math>d\tau\ </math> è l'elemento di volume di <math>T\ </math>. L'operazione di integrazione se il volume è sufficientemente grande fa mediare la potenza, per cui elimino il segno di media:
 
{{Equazione|eq=<math>\overline {W}=\overline {\int_Nq\vec E(t)\cdot \vec v(t)dN }=\overline {\int_Tnq\vec E(t)\cdot \vec v(t)d\tau }=\int_T \vec E\cdot \vec Jd\tau </math>|id=19}}
 
Tale equazione rappresenta una estensione della [[w:Effetto_Joule|legge di Joule]] in forma differenziale. Dalla IV equazione (11) di [[Fisica_classica/Equazioni_di_Maxwell|Maxwell]]
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{{Equazione|eq=<math>W=-\frac 1{\mu_o} \int_T \vec \nabla \cdot (\vec E\times \vec B)d\tau -\frac 1{\mu_o} \int_T \vec B\cdot \frac {\partial \vec B}{\partial t}d\tau -\frac 1{c^2}\int_T \vec E(t)\cdot \frac {\partial \vec E}{\partial t}</math>|id=22}}
 
Il primo integrale, mediante il teorema di Gauss, si può trasformare in un integrale esteso alla superficie <math>S\ </math> che delimita il volume <math>T\ </math>, mentre invertendo il segno di derivata temporale con il segno di integrale nel secondo e terzo termine e raggruppando si ha che:
 
{{Equazione|eq=<math>W=- \int_S (\frac 1{\mu_o}\vec E\times \vec B)\cdot \vec {dS}-\frac 12 \frac {\partial }{\partial t}\left[ \int_T \left( \frac {B^2}{\mu_o}+\epsilon_o E^2\right) d\tau \right]</math>|id=23}}
 
Il secondo termine è la variazione di energia elettrica e magnetica all'interno del volume (quindi niente di nuovo rispetto alla elettrostatica e la magnetostatica), mentre la grandezza nuova è il vettore:
 
;<math>\vec P=\frac 1{\mu_o}\vec E\times \vec B\ </math>
 
è detto vettore di Poynting, erappresenta indicala l'energiapotenza trasportata dall'onda elettromagnetica, per unità di superficie . Come si vede la direzione di <math>\vec P\ </math> , essendo mutuamente perpendicolare ai vettori trasversali, è lungo la direzione di propagazione dell'onda stessa. Le dimensioni del vettore di Poynting sono quindi quelle di una energia diviso un tempo ed una lunghezza al quadrato. La massima potenza dissipabile da un'onda elettromagnetica per ragioni di conservazione dell'energia è ovviamente proprio l'intensità del vettore di Poynting.
Se si ha una sorgente puntiforme di onde elettromagnetiche, quindi l'onda ha una simmetria sferica, mentre l'intensità dei campi elettrici e magnetici dell'onda diminuiscono con <math>1/r\ </math>, l'intensità del vettore di Pynting diminuisce con il quadrato della distanza dalla sorgente. Questo garantisce che, se non viene assorbita l'onda, in condizioni stazionarie in tutte le sfere concentriche vi sia istante per istante la stessa energia e quindi l'espressione implica la conservazione dell'energia.
 
La quantità di moto trasportata da un'onda elettromagnetca, potrebbe in maniera formale ricavarsi in forma generale come fatto per ricavare l'energia: il ragionamento sarebbe complicato dal fatto di fare di dovere introdurre il [[w:Tensore_energia_impulso:tensore di Maxwell]]. Si può semplificare il ragionamento considerando il caso microscopico per un'onda progressiva che dissipa totalmente la sua energia interagendo con un insieme di cariche indipendenti. Questa ultima ipotesi è eguale a quella fatta precedente per ricavare l'energia media dissipata da un'onda elettromagnetica. La variazione media della quantità di moto nel tempo <math>\Delta t\ </math> di ogni carica sarà data da:
 
{{Equazione|eq=<math>\overline {\vec {\Delta p}}=\overline {\vec {F(t)}\Delta t}=q\overline {\vec {E(t)}}+q\overline {\vec {v(t)}\times \vec {B(t)} \Delta t}=q\overline {\vec {v(t)}\times \vec {B(t)} \Delta t}\ </math>|id=24}}
 
In questo caso è il valore medio dell'impulso fornito dalla parte elettrica del campo elettromagnetico che è nulla. Per questo nell'eq. 24 nell'ultimo termine si è eliminata la parte elettrica.
 
 
[[Categoria:Fisica Classica|Onde Elettromagnetiche]]