Fisica classica/Onde elettromagnetiche: differenze tra le versioni
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L'equazioni di Maxwell ammettono come soluzioni le onde elettromagnetiche, le quali per la loro propagazione non necessitano di nessun mezzo.
Le onde elettromagnetiche trasportano energia come è chiaro nella esperienza pratica, e vedremo che posseggono anche quantità di moto. Per quantificare l'energia trasportata facciamo ricorso alle proprietà elementari della materia poco densa, quindi ci riferiamo a [[w:Gas_perfetto|gas rarefatti]] o [[w:Plasma_%28fisica%29|plasmi]]. La trattazione potrebbe essere fatta in maniera più generale, ma si sarebbe dovute considerare la forma più generale delle equazioni di Maxwell in presenza di materia e questo appesantisce la trattazione. La materia ci serve qui per prevedere la presenza nel volume <math>T\ </math> attraversato dall'onda elettromagnetica di cariche libere <math>q\ </math> indipendenti l'una dall'altra. La [[w:Forza_di_Lorentz|forza di Lorentz]] agente su ogni singola carica <math>q\ </math> con velocità istantanea <math>\vec v(t)\ </math> sarà:
{{Equazione|eq=<math>\vec F=q[\vec E(t)+\vec v(t)\times \vec B(t)]</math>|id=17}}
Indichiamo genericamente il campo elettromagnetico con <math>\vec E(t)\ </math> e <math>\vec B(t)\ </math>. La potenza media dissipata
da tale campo elettrico e magnetico variabile nel tempo sarà
{{Equazione|eq=<math>\overline {W}=\overline {q[\vec E(t)+\vec v(t)\times \vec B(t)]\cdot \vec v(t)}=\overline {q\vec E(t)\cdot \vec v(t)}</math>|id=18}}
Essendo ovviamente <math>[\vec v(t)\times \vec B(t)]\cdot \vec v(t)\equiv 0\ </math>. La potenza totale mediamente dissipata <math>T\ </math> dove sono presenti <math>dN=nd\tau \ </math> cariche, <math>n\ </math> è il numero di cariche per unità di volume ed <math>d\tau\ </math> è l'elemento di volume di <math>T\ </math>.
{{Equazione|eq=<math>\overline {W}=\overline {\int_Nq\vec E(t)\cdot \vec v(t)dN }=\overline {\int_Tnq\vec E(t)\cdot \vec v(t)d\tau }=\int_T \vec E\cdot \vec Jd\tau </math>|id=19}}
Tale equazione rappresenta una estensione della [[w:Effetto_Joule|legge di Joule]] in forma differenziale. Dalla IV equazione (11) di [[Fisica_classica/Equazioni_di_Maxwell|Maxwell]]
{{Equazione|eq=<math>W=\frac 1{\mu_o} \int_T \vec E\cdot (\vec \nabla \times \vec B)d\tau -\frac 1{c^2}\int_T \vec E(t)\cdot \frac {\partial \vec E}{\partial t}</math>|id=20}}
Date due grandezze vettoriali, in questo caso <math>\vec E(t)\ </math> e <math>\vec B(t)\ </math>, si può dimostrare esplicitando la divergenza ed il rotore che:
:<math>\vec E\cdot (\vec \nabla \times \vec B)=-\vec \nabla \cdot (\vec E\times \vec B)+\vec B\cdot (\vec \nabla \times \vec E)</math>
sostituendo l'ultima eguaglianza vettoriale nella eq.20 si ha che:
{{Equazione|eq=<math>W=-\frac 1{\mu_o} \int_T \vec \nabla \cdot (\vec E\times \vec B)d\tau +\frac 1{\mu_o} \int_T \vec B\cdot (\vec \nabla \times \vec E)d\tau -\frac 1{c^2}\int_T \vec E(t)\cdot \frac {\partial \vec E}{\partial t}</math>|id=21}}
Se sostituiamo nell'eq.21 la legge di Faraday in forma differenziale (10) di [[Fisica_classica/Equazioni_di_Maxwell|Maxwell]] <math>\vec \nabla \times \vec E=-\frac {\partial \vec B}{\partial t}\ </math> si avrà che la potenza media dissipata nel volume vale:
{{Equazione|eq=<math>W=-\frac 1{\mu_o} \int_T \vec \nabla \cdot (\vec E\times \vec B)d\tau -\frac 1{\mu_o} \int_T \vec B\cdot \frac {\partial \vec B}{\partial t}d\tau -\frac 1{c^2}\int_T \vec E(t)\cdot \frac {\partial \vec E}{\partial t}</math>|id=22}}
Il primo integrale, mediante il teorema di Gauss, si può trasformare in un integrale esteso alla superficie <math>S\ </math> che delimita il volume <math>T\ </math>, mentre invertendo il segno di derivata con il segno di integrale e raggruppando si ha che:
{{Equazione|eq=<math>W=- \int_S (\frac 1{\mu_o}\vec E\times \vec B)\cdot \vec {dS}-\frac 12 \frac {\partial }{\partial t}\left[ \int_T \left( \frac {B^2}{\mu_o}+\epsilon_o E^2\right) d\tau \right]</math>|id=23}}
Il secondo termine è la variazione di energia elettrica e magnetica all'interno del volume (quindi niente di nuovo rispetto alla elettrostatica e la magnetostatica) mentre il vettore:
;<math>\vec P=\frac 1{\mu_o}\vec E\times \vec B\ </math>
è detto vettore di Poynting, e indica l'energia trasportata dall'onda elettromagnetica, per unità di superficie. Come si vede la direzione di <math>\vec P\ </math> è lungo la direzione di propagazione dell'onda stessa.
[[Categoria:Fisica Classica|Onde Elettromagnetiche]]
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