Fisica classica/Onde elettromagnetiche: differenze tra le versioni

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== Onde Elettromagnetiche ==
Si parte dalle [[Fisica_classica/Equazioni_di_Maxwell#Equazioni_di_Maxwell_in_forma_differenziale|equazioni di Maxwell in forma differenziale]] viste precedentemente e si considera il caso in cui non vi sono cariche libere e non vi sono correnti elettriche.
Trattiamo l'elettromagnetismo in assenza di materia.
 
{{Equazione|eq=<math>
[[categoria:stub]]
\vec \nabla \cdot \vec E=0 </math>|id=1}}
{{Equazione|eq=<math>\vec \nabla \cdot \vec B =0</math>|id=2}}
{{Equazione|eq=<math>\vec \nabla \times \vec E=-\frac {\partial \vec B}{\partial t}</math>|id=3}}
{{Equazione|eq=<math>
\vec \nabla \times \vec B=\frac 1{c^2} \frac {\partial \vec E}{\partial t}
</math>|id=4}}
 
Se facciamo il rotore della eq. 3 e sostituiamo al II membro l'eq.4 otteniamo:
{{Equazione|eq=<math>\vec \nabla \times \vec \nabla \times \vec E=-\frac {\partial }{\partial t}\vec \nabla \times \vec B=-\frac 1{c^2} \frac {\partial^2 \vec E}{\partial t^2}</math>|id=5}}
 
Ma esiste una identità vettoriale, dato un qualsiasi campo vettoriale <math>\vec A\ </math>
 
:<math>\vec \nabla \times \vec \nabla \times \vec A== \nabla \left( \nabla \cdot \vec A \right) - \nabla^2 \vec A\ </math>
 
Per cui il primo membro della equazione 5 può essere trasformato grazie a questa identità e al fatto che vale l'eq.1. Quindi l'eq. 5 diviene:
 
{{Equazione|eq=<math>\nabla^2 \vec E=\frac 1{c^2} \frac {\partial^2 \vec E}{\partial t^2}</math>|id=6}}
 
Senza nessun mezzo siamo arrivati a trovare che le equazioni di Maxwell permettono di avere un campo elettrico che si propaga nello spazio con una legge eguale a quella di tutte le onde. Analogamente dalla eq. 4 facendo il rotore e sostituendo l'eq. 3 al secondo membro:
 
{{Equazione|eq=<math>
\vec \nabla \times \vec \nabla \times \vec B=\frac 1{c^2} \frac {\partial }{\partial t}\vec \nabla \times \vec E=-\frac 1{c^2} \frac {\partial^2 \vec B}{\partial t^2}
</math>|id=7}}
 
Per cui il primo membro della eq.7 può essere trasformato grazie alla identità vettoriale di prima ed al fatto che vale l'eq.2. Quindi l'eq. 7 diviene:
 
{{Equazione|eq=<math>\nabla^2 \vec B=\frac 1{c^2} \frac {\partial^2 \vec B}{\partial t^2}</math>|id=8}}
 
Ricordiamo come:
 
:<math>c = { 1 \over \sqrt{ \mu_o \varepsilon_o } } = 2.99292458 \times 10^8 m s^{-1}\ </math>
 
è la velocità ddella luce nel vuoto.
 
La conclusione è che dalle equazioni di Maxwell è possibile ricavare un campo elettromagneico che si propaga nel vuoto senza l'intervento di nessun mezzo. Fino al XIX secolo si ipotizzzava che esistesse un mezzo (molto rigido e poco denso) attaverso
cui si propagavano le onde elettromagnetiche: l'[[w:Etere_%28fisica%29|etere]].
 
Non tutte le proprietà delle onde elettromagneiche sono state ancora messe in luce, nel seguito cercheremo di evidenziare meglio
tali proprietà.
 
La prima proprietà da mettere in evidenza è la natura trasversale delle onde elettromagnetiche infatti apparentemente dalle eq. 6 ed 8 abbiamo 6 componenti indipenti del campo. In realtà se consideriamo un riferimento cartesiamo e scegliamo localmente la direzione dell'asse delle <math>x\ </math> coincidente con la direzione di propagazione. Se la regione di spazio è sufficiente piccola solo le derivate spaziali nella direzione di propagazione sono nulle. In poche parole stiamo facendo l'ipotesi che l'onda sia localmente [[w:Onda_piana|piana]]. Con queste ipotesi sempre verificabili in un ambito locale la eq. 1 diventa:
 
{{Equazione|eq=<math>\frac {\partial E_x}{\partial x}=0</math>|id=9}}
 
La eq. 2:
 
{{Equazione|eq=<math>\frac {\partial B_x}{\partial x}=0</math>|id=10}}
 
Le tre componenti dell'eq. 3:
 
{{Equazione|eq=<math>0=-\frac {\partial B_x}{\partial t}</math>|id=11}}
{{Equazione|eq=<math>\frac {\partial E_z}{\partial x}=-\frac {\partial B_y}{\partial t}</math>|id=12}}
{{Equazione|eq=<math>-\frac {\partial E_y}{\partial x}=-\frac {\partial B_z}{\partial t}</math>|id=13}}
 
Mentre le tre componenti dell'eq. 4
 
 
{{Equazione|eq=<math>0=\frac {\partial E_x}{\partial t}</math>|id=14}}
{{Equazione|eq=<math>\frac {\partial B_z}{\partial x}=\frac 1{c^2} \frac {\partial E_y}{\partial t}</math>|id=15}}
{{Equazione|eq=<math>-\frac {\partial B_y}{\partial x}=\frac 1{c^2}\frac {\partial E_z}{\partial t}</math>|id=16}}
 
L'eq. 9 e 14 mostrano come la componente del campo elettrico nella direzione del moto non varia nello spazio e nel tempo, analogamente l'eq. 10 e 11 indicano che la componente del campo magnetico nella direzione del moto non varia nello spazio e nel tempo. In definitiva le uniche onde elettromagnetiche possibili sono trasversali cioè le uniche componenti da considerare sono quelle nella direzione <math>y\ </math> e <math>z\ </math>. Inoltre le eq. 12 e 13 (le eq. 15 e 16 non aggiungono niente) stabiliscono delle precise relazioni tra le componenti mutuamente perpendicolari del campo elettrico e magnetico.
 
Infatti se ad esempio l'espressione della componente <math>z\ </math> della parte elettrica e magnetica dell'onda elettromagnetica mutuamente perpendicolari valgono:
 
:<math>E_z=f(x\pm ct)\ </math> <math>B_y=g(x\pm ct)\ </math>
 
Il segno <math>\pm\ </math> per indicare una onda regressiva o progressiva.
Definendo <math>\xi=x\pm ct\ </math>, <math>f'=df/d\xi\ </math>, <math>g'=dg/d\xi\ </math>. Sostituita nella eq. 12:
 
:<math>f'=\mp cg' </math>
 
Questa non è altro che una [[w:Equazione_differenziale|equazione differenziale]] che integrata seplicemente porta
a:
 
:<math>\frac {E_z}{B_y}=\mp c</math>
 
A meno di una costante additiva (che non ha interesse nel caso delle onde, l'esistenza di onde non nega la possibilità che
nel vuoto ci siano campi elettrici e magnetici costanti). Analogamente usando la eq. 13:
:<math>\frac {E_y}{B_z}=\mp c</math>
 
Questo indica che in una onda elettromagnetica vi sono solo due componenti indipendenti del campo ad esempio le componenti perpendicolari elettriche o le due componenti parallele elettriche e magnetiche.
 
[[Categoria:Fisica Classica/Onde Elettromagnetiche]]
[[Categoria:Elettromagnetismo]]