Fisica classica/Suono: differenze tra le versioni

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si ha che:
 
:{{Equazione|eq=<math>-\omega^2 u_n=\alpha \left(u_{n+1}+u_{n-1}-2u_n \right)\ </math>|id=3}}
 
Con semplici passaggi trigonometrici si ha quindi che:
 
:{{Equazione|eq=<math>\omega^2=4\frac {\alpha}m\sin^2 (ka/2)\ </math>|id=3}}
 
Notiamo che se avessimo usato una onda piana regressiva:
 
:{{Equazione|eq=<math>u_n=Ae^{-i(kna+\omega t)}\ </math>|id=4}}
 
Avremmo trovato la stessa identica tra <math>\omega \ </math> e <math>k\ </math>: detta comunemente relazione di dispersione. Quindi anche una combinazione lineare di due
soluzioni di tale tipo è ancora soluzione cioè:
 
:<math>u_n=Ae^{-i(kna+\omega t)}+Ae^{i(kna+\omega t)}=2A \cos (kna+\omega
t)\ </math>
Gli atomi nel tempo descrivono un moto armonico intorno
alla posizione di equilibrio.
Nei solidi sono possibili allontanamenti dalla direzione di equilibrio, non solo nella direzione longitudinale,
ma anche in quella trasversale. Infatti anche nella direzione trasversale vi è una forza di richiamo elastico, ma in
genere con un coefficiente di elasticità minore.
 
La pulsazione:
 
:<math>\omega_m=\sqrt{4\alpha/m}\ </math>
 
rappresenta la massima pulsazione massima. La ragione di tale pulsazione o se si vuole frequanza massima deriva dal carattere discreto degli atomi. Tali frequenze massime cadono
nei solidi reali a frequenze paragonabili a quelle che nelle onde
e.m. si chiamano microonde o lontano infrarosso.
 
Solo per frequenze molto basse la relazione di dispersione tra
<math>\omega \ </math> e <math>k\ </math> è lineare e la pendenza è la velocità del
suono. Matematicamente vuol dire che se <math>ka/2\ll 1\ </math> posso
approssimare il seno con il suo argomento nella eq.3 per
cui:
 
:<math>\omega \approx\sqrt{\frac {\alpha}m}ak</math>
 
Dove la velocità del suono è <math>v=\sqrt{\frac
{\alpha}m}a\ </math>