Analisi complessa/Operatori lineari in H: differenze tra le versioni

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m Correggo sintassi in formula matematica secondo mw:Extension:Math/Roadmap
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m Bot: Correggo errori comuni (tramite La lista degli errori comuni V 1.0)
 
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;Teorema:Siano:
:*<math>H</math> uno spazio di Hilbert,
:*<math>\left\{x_n\right\}</math> una successione in <math>H</math> con <math>\Vert x_n \Vert \leq K<\infty</math> ,
:*<math>\left\{y_n\right\} </math> un'altra successione in <math>H</math> con <math>\Vert y_n \Vert \leq K<\infty</math>
:*<math> \left\{\alpha_n\right\} </math> una successione in <math>\Complex</math> con <math>\sum_{n} |\alpha_{n}| \leq K<\infty</math>
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:Diciamo che <math>L_n \rightarrow L</math>
:*'''In norma''' se
:*:<math> \forall \varepsilon > 0 \exists N : n > N \Rightarrow \Vert L_n - L \Vert _{\mathcal{B}(H)}< \varepsilon</math> ,
::cioè se
:::<math>\sup_{\Vert x \Vert = 1 } \Vert L_n x -L x \Vert < \epsilon</math> .
:*'''Fortemente''' se
:*:<math>\forall x \in H\quad L_n x \rightarrow Lx</math> ,
::cioè se
:::<math>\forall \varepsilon > 0, x \in H\quad\exists N_x:n>N_n \Rightarrow \Vert L_n x - Lx \Vert <\varepsilon</math>
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:*sia <math>ST</math> che <math>TS</math> sono compatti.
 
;TEOREMA 2.7.25.:Sia <math>T \in \mathcal{L}(H)</math> operatore compatto. Per ogni <math>n>0</math> esiste solo un numero finito di elementi di <math>\sigma(T)</math> che siano maggiori di <math>0</math> ; in altri termini gli elementi dello spettro sono al più numerabili, e se sono infiniti, l'unico punto di accumulazione è lo <math>0</math>.Inoltre <math>\sigma(T)=\sigma_D (T)</math>.
 
;Operatori autoaggiunti.:Un operatore si dice '''autoaggiunto''' se <math>L^{\star}=L</math>.Se <math>L \in \mathcal{B}(H)</math>è autoaggiunto, allora i suoi autovalori sono reali, e gli autovettori corrispondenti ad autovalori distinti sono ortogonali.