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Riga 6: :Scriveremo inoltre <math>\Delta x_i=x_1 - x_i-1\!</math>. Se ora <math>f</math> è una funzione reale limitata definita su <math>[a,b]</math> , e <math>P</math> una partizione di <math>[a,b]</math> poniamo <math>M_i=\sup_{x_i-1 \leq x \leq x_i} f(x) \qquad m_i=\inf_{x_i-1 \leq x \leq x_i} f(x) \qquad</math> <math>U(P,f)=\sum_{i=1}^{n}M_i \Delta x_i \qquad L(P,f)=\sum_{i=1}^{n}m_i \Delta x_i </math> *<math>\overline{\int_{a}^{b}}f dx = \inf U(P,f)\qquad\underline{\int_{a}^{b}}f dx=\sup L(P,f)</math> dove <math>\inf, \sup</math> sono calcolati al variare di tutte le partizioni di <math>[a,b]</math> , e i due integrali si dicono rispettivamente '''integrale di Riemann superiore''' e '''inferiore'''. Se i due integrali sono uguali, <math>f</math> si dice '''Riemann-integrabile''' ( <math>f \in \mathcal{R}([a,b])</math> Riga 18: '''Osserviamo''' che, dato che ogni funzione limitata esistono <math>m,M \in \R</math> tali che <math>m \leq f(x) \leq M</math> per ogni <math>x \in [a,b]</math> , <math> m(b-a) \leq L(P,f) \leq U(P,f) \leq M(b-a) </math> gli integrali di Riemann superiori ed inferiore sono definiti, anche se non è detto che abbiano lo stesso valore. ==Teorema== <math>f \in \mathcal{R}([a,b])</math> se e solo se per ogni <math>\varepsilon > 0</math> esiste una partizione <math>P</math>

Analisi complessa/Integrale di Riemann: differenze tra le versioni