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Analisi matematica/Equazioni riducibili lineari: differenze tra le versioni

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{{analisi matematica}}
==Equazioni riducibili lineari==
 
:::<math>\ a)\qquad== Equazione\ di\ Bernoulli:</math>==
 
::::Forma tipica:<math>\ -\qquad {dy\over dx}+a(x)y=b(x)y^n.</math>
 
Si pone : <math>\ z=y^{1-n},</math> onde <math>\ z'=(1-n)y{-n}y'</math> e ponendo in questa l'espressione di '''y' ''' si
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:::::<math>\ {1\over 1-n}{dz\over dx}+az=b,</math> che è lineare in '''z'''.
 
=== Esempio ===
<math>\ Esempio \qquad {dy\over dx}+{2\over x}y={y^3\over x^3}</math>
 
::Si pone: <math>{dy\over z=y^dx}+{-2},\quadover z'x}y=-2y{y^3\over x^{-3}y'</math> e l'equazione diventa:
 
Si pone: <math>\ z=y^{-2},\quad z'=-2y^{-3}y'</math> e l'equazione diventa:
 
::::::<math>\ {dz\over dx}={4\over x}-{2\over x^3},</math>
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che risolta da: <math>\ z={1\over 3x^2}+Cx^4\qquad ovvero:{1\over y^2}={1\over x^2}+Cx^4.</math>
 
== Equazione di Riccati ==
 
::Forma tipica:<math>\ b)-\qquad Equazione{dy\over di\ Riccati:dx}+ay^2+by+C=0.</math>
 
essendoEssendo '''a''', '''b''', e '''C''' funzioni date di x:▼
::::Forma tipica:<math>\ -\qquad {dy\over dx}+ay^2+by+C=0.</math>
 
::Se si conosce un integrale particolare y_1, ponendo ▼
▲essendo '''a''', '''b''', e '''C''' funzioni date di x:
 
▲::Se si conosce un integrale particolare y_1, ponendo
 
:::::<math>\ y=y_1+z</math>
 
essaEssa si trasforma in una equazione di Bernoulli.
 
=== Esempio ===
 
<math>\ Esempio \qquad {dy\over dx}-xy^2+2x^2y-x^3-1=0.</math>
 
::Questa equazione ammette l'integrale particolare; <math>\ y_1=x,</math> per cui ponendo: <math>\ y=x+z</math> l'equazione diventa: <math>\ {dx\over dx}=xz^2</math> che si integra subito separando levariabili e si trova:
l'equazione diventa: <math>\ {dx\over dx}=xz^2</math> che si integra subito separando levariabili e si trova:
 
<math>\ z=-{1\over {x^2\over 2}+C}</math> pere cui l'integrale generale della data è:
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Se si pone : <math>\ y=y_1+{1\over z},</math> l'equazione data si trasforma in una equazione lineare.
 
:::<math>\ c)\qquad== Equazione\ di\ Lagrange:</math> ==▼
 
▲:::<math>\ c)\qquad Equazione\ di\ Lagrange:</math>
 
::::Forma tipica:<math>\ -\qquad y=\alpha (y')x+\beta (y').</math>
 
:Si derivano i due membri rispetto a xe si pone: <math>\ y'=t</math>, onde l'equazione diventa:
 
::::<math>\ [t-\alpha(t)]{dx\over dt}=\alpha '(t)x+\beta '(t),</math>
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che è lineare nell'incognita <math>\ x=x(t).</math>
 
:L'integrale generale si trova così in forma parametrica:
 
:::::<Math>\ \begin{cases}x&\varphi(t,C)\\y&\alpha (t)\varphi (t,C)+\beta (t)\end{cases}</math>
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Se in particolare: <math>\ \alpha (y')=y'</math> l'equazione si dice di '''Clairaut'''.
 
=== Esempio ===
 
<math>\ 1)\quad Si\ risolva\ l'equazione\ di\ Lagrange:</math>▼
<math>\ Esempio </math>
 
▲<math>\ 1)\quad Si\ risolva\ l'equazione\ di\ Lagrange:</math>
 
::::::<math>\ y=xy^{'2}+y^'</math>
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::::<math>\ {-t+log\ t+C_1\over (t-1)^2}\qquad y={t[t\ log\ t+(C_1-2)t+1]\over (t-1)^2}</math>
<math>\ 2)\quad Si\ risolva\ l'equazione\ di\ Clairaut:</math>▼
 
▲<math>\ 2)\quad Si\ risolva\ l'equazione\ di\ Clairaut:</math>
 
::::::<math>\ y=xy^{'}+y^{'2}.</math>
 
:Derivando e ponendo <math>\ y^'=t</math> si trova:
 
::::<math>\ {dt\over dx}(x+2t)=0.</math>
 
L'equazione: <math>\ {dt\over dx}=0</math> fornisce l'integrale generale, poiché: <math>\ t=C,\quad y^'=C,\quad y=Cx+C_1</math> che confrontata con la data diventa: <math>\ y=Cx+C^2.</math>
 
y=Cx+C_1</math> che confrontata con la data diventa: <math>\ y=Cx+C^2.</math>
 
L'altra equazione: <math>\ x+2t=0</math> da l'integrale singolare che è: <math>\ y^'=-{x\over 2}</math> da cui <math>\ y=
 
L'altra equazione: <math>\ x+2t=0</math> da l'integrale singolare che è: <math>\ y^'=-{x\over 2}</math> da cui <math>\ y=-{x^2\over 4},</math> equazione che si può pure ottenere come curva inviluppo dcelladella famiglia costituita dall'integrale generale.
 
{{Avanzamento|100%|20 luglio 2010}}
generale.
{{Avanzamento|100%|20 luglio 2010}}[[Categoria:Analisi matematica|Equazioni riducibili lineari]]
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