Analisi matematica/Equazioni lineari: differenze tra le versioni
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Si separano subito le variabili; <math>\ {dy\over y}+a(x) dx=0,</math>
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:::::<math>\ log\ y=-\int_{}^{}a(x) dx+C,\qquad y=Ce^{-\int_{}^[{}adx}</math>
Si pone: <math>\ y=\gamma e^ {-\int_{}^{adx}} </math> (\gamma essendo una funzione di '''x'''da determinarsi), cioè si
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si sostituisce nell'equazione e si ha:
:::::<math>\ \gamma'e^{-\int_{}^{}adx}+b=0\qquad onde\qquad \gamma'=-be^{\int_{}^{}adx},\qquad \gamma=-\int_{}^{}be^{\int_{}^{}adx}dx,</math>
onde l'integrale generale si ottiene
▲onde l'integrale generale si ottiene addizionamdoall'integrale generale dell'equazine omogenea questo integrale
particolar della completa, cioè:
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:::::<math>\ y=e^{-\int_{}^{}adx}({-\int_{}^{}be^{\int_{}^{}adx}dx}</math>
''Esempio'' <math>
::::<math>\ {dy\over dx}=-2{y\over x},\quad {dy\over y}=-2{dx\over x},\quad log\ {y\over C}=-2 log\ x,\quad y={C\over x^2}</math>
▲::<math>\ b) Integrale\ particolare\ dell'equazione\ completa:</math>
::::<math>\ y={\gamma\over x^2},\quad y'={\gamma '\over x^2}-{2\gamma\over x^3},\quad \gamma '=x^5,\quad \gamma={x^6\over 6}.</math>
::::::<math>\ y={1\over x^2}({x^6\over 6}+C).</math>
(Questo metodo si dice '''metodo della variazione''' della costante arbitraria)
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