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Analisi matematica/Equazioni differenziali di primo ordine: differenze tra le versioni

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{{analisi matematica}}
==Equazioni differenzialia divariabili primoseparabili ordine==
 
:<math>\ 1) \qquad Equazioni\ a\ variabili\ separabili.</math>
 
Forma tipica:
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funzione che dà l' ''integrale generale''.
 
:<math>\ 2) \qquad== Equazione\ esatta</math> ==
 
Forma tipica
 
Line 48 ⟶ 45:
::::::<math>\ {\partial u\over \partial y}=B(x,y) \qquad ovvero:</math>
 
:::<math>\ B(x,y)=\int_{x_0}^{x}{\partial A\over \partial y}\,dx+\varphi'(y)=\int_{x_0}^{x}{\partial B\over \partial x}\, dx+\varphi'(y)</math>
 
dx+\varphi'(y)</math>
 
Da cui:
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:::<math>\ u(x,y)=\int_{x_0}^{x}A(x,y)\,dx+\int_{y_0}^{y}B(y_0,y)\,dy=C</math>
 
''Esempio'': <math>\ Esempio \qquad (x+y) dx+(x+Sin[y]) dy=0 </math>
 
L'equazione è esatta, perché: <math>\ {\partial (x+y)\over \partial y}={\partial (x+Sin[y])\over \partial x}=1</math>
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:::::::<math>\ {x^2\over 2}+xy-Cos[y]-({x_o ^2\over 2}+x_o y_o-Cos[y_o])=C.</math>
 
:<math>\ 3) \quad== Equazioni\ riducibili\ esatte\ ossia\ per\ le\ quali\ esiste\ un\ fattore\ integrante.</math> ==
 
:::<math>\=== Caso\ a</math> ===
:::<math>\ Forma\ tipica:\qquad <math>Adx+Bdy=0</math> ▼
 
essendoEssendo: <math>\ A(x,y) e B(x,y)</math> funzioni '''omogenee''' e <math>\ Ax+By\ne 0;</math> il '''fattore integrante''' è:<math>\ {1\over Ax+By}.</math>▼
▲:::<math>\ Forma\ tipica:\qquad Adx+Bdy=0</math>
 
▲essendo: <math>\ A(x,y) e B(x,y)</math> funzioni '''omogenee''' e <math>\ Ax+By\ne 0;</math> il '''fattore integrante''' è:<math>\ {1\over Ax+By}.</math>
 
(I°) metodo di soluzione: Si divide l'equaqzione per <math>\ Ax+By</math>, e si ottiene così una equazione esatta che si
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e integrando: <math>\ \log cx=\int_{}{}{1\over f(1,t)-t}\,dt.</math>
 
''Esempio'': <math>\ Esempio:\qquad 2xydx+(y^2-x^2) dy=0</math>
 
Risolvendo rispetto a y' si ha:
 
:::::<math>\ {dy\over dx}={2xy\over x^2-y^2},\qquad ovvero {dy\over dx}={2{y\over x}\over {1-({y\over x})^2}}\qquad (y\ne x)</math>
 
(y\ne x)</math>
 
Poniamo: <math>\ y=tx</math> onde: <math>\ dy=t dt+x dt</math> e l'equazione diviene:
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è l'equazione di una famiglia di circonferenze aventi il centro sull'asse '''y'''.
 
:::<math>\=== Caso\ b</math> ===
 
:::<math>\ Forma\ tipica:\qquad <math>f(xy) ydx+g(xy) xdy=0</math>
 
fattoreFattore integrante: <math>\ {1\over Ax-By},\qquad essendo\ Ax-By\ne 0</math>
 
''Esempio'': <math>\ Esempio \qquad (x^2y^2+xy) ydx+(x^2y^2-1) x dy=0, </math>
 
fattoreFattore integrante: <math>\ {1\over x^2 y^2+xy}.</math>
 
Dividendo l'equazione per <math>\ x^2 y^2+xy</math> si ha:
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::::::<math>\ y=Ce^{xy}.</math>
 
:::<math>\=== Caso\ c</math> ===
 
:::<math>\ Forma\ tipica:\qquad <math>Adx+Bdy=0\qquad {1\over B}({\partial A\over \partial y}-{\partial B\over \partial x}) =f(x)</math>
 
Quando: <math>{1\over B}({\partial A\over \partial y}-{\partial B\over \partial x}) =f(x)</math>
=f(x)</math>
 
quandoFattore integrante: <math>{1\over B}(\rho=e^{\partial A\over \partial yint_{}-^{\partial B\over \partial x}) =f(x) dx}.</math>
 
fattore integrante''Esempio'': <math>\ \rho=e^{\int_{}^{}f(x^2+y^2+2x) dx}.+2 y dy=0</math>
 
<math>\ Esempio \qquad (x^2+y^2+2x) dx+2 y dy=0</math>
 
Si ha: <math>\ {1\over B}({\partial A\over \partial y}-{\partial B\over \partial y})={1\over 2y}2y=1</math>
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da cui integrando si ha: <math>\ e^x(x^2+y^2)=C.</math>
 
:::<math>\=== Caso\ d</math> ===
 
:::<math>\ Forma\ tipica:\qquad <math>Adx+Bdy=0\qquad {1\over A}({\partial B\over \partial x}-{\partial A\over \partial x}) =\varphi(y)</math>
 
Quando: <math>\ {1\over A}({\partial B\over \partial x}-{\partial A\over \partial y})=\varphi(y),</math>
=\varphi(y)</math>
 
quandoFattore integrante: <math>\ \rho=e^{1\over A}(int_{\partial B\over \partial x}-^{\partial A\over \partial y})=\varphi (y), dy}</math>
 
fattore integrante''Esempio'': <math>\ \rho=ey^{\int_{}^{}\varphi2 dx+(x y+1) dy}=0</math>
 
<math>\ Esempio \qquad y^2 dx+(x y+1)=0</math>
 
Si ha: <math>\ {1\over A}({\partial B\over \partial x}-{\partial A\over \partial y})=-{1\over y},</math>
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[[Categoria:Analisi matematica|Equazioni differenziali di primo ordine]]
 
{{Avanzamento|100%|2 giugno 2015}}
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