Analisi matematica/Tipi di integrali definiti: differenze tra le versioni

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::<math>\ C=</math> intervallo '''(a, b)''' dell'asse '''x''',

essendo <math>\varphi(b)-\varphi(a)</math> la funzione primitiva di '''f(x)''' che si annulla per '''x=a'''.

 

 

L'integrale considerato rappresenta:

Se la curva attraversa l'asse '''x''', l'area risulta uguale alla differenza dei due integrali ralativi alle due parti in cui la '''y=f(x)''' viene divisa dall'asse '''x'''.

 

 

::<math>\int_{a}^{b}f(x)dx=\lambda(b-a),</math>

Se la funzione è continua, <math>\ \lambda=f(c)</math> essendo: '''a<c<b.'''

 

 

<math>1)\qquad \int_{a}^{b}dx={h\over 2}[(y_{0}+y_{n})+2(y_{1}+y_{4}+...+y_{n-1})],</math>

avendo <math>\ h,\ y_{0},...y_{2n}</math> lo stesso significato di prima. (metodo di Simpson).

 

Se si pone: <math>\ x=\varphi (t),\ a=\varphi (t_1),\ b=\varphi (t_2)</math> si ha :

 

quando la funzione <math>\ f(x)</math> è continua in <math>\ (a,b)</math> e le funzioni <math>\ \varphi(t),\ \varphi '(t)</math> sono continue in <math>\ (t_1,\ t_2)</math> ed inoltre <math>\ \varphi '(t)\ne 0\ .</math>

 

'''a)''' definizioni <math>:\qquad \left\{\begin{matrix}C=intervallo\ (a,b)\ dell'asse\ x,\\f=f(x,y)\ con\ y=\phi(x)\end{matrix}\right.</math>

 

 

::::::<math>\int_{\gamma}^{}f(x,y)dx=\int_{t_{1}}^{t_{2}}f[x(t),y(t)]x'(t)dt.</math>

 

'''b)''' significato geometrico :

rappresenta l'area della regione di piano limitata dall'asse'''x''' dalle rette '''x=a, x=b''' e dall'arco di curva '''y=g(x)''' compreso fra queste rette.

 

'''a)''' definizioni:<math>\qquad \left\{\begin{matrix}C=\phi(x),\\f=(x,y)\ con\ y=\phi(x),\end{matrix}\right.</math>

 

rappresenta l'area della regione cilindrica avente per base l'arco <math>\ \gamma</math> e altezza variabile data da: <math>\ f[x,\varphi(x)]\ .</math>

 

::<math>\ C=</math> regione semplice <math>\ \Omega</math> del piano <math>\ xy,</math> limitata da archi :

 

 

:::<math>\widehat{CBD} : x=\delta(y)</math> archi a desra .

 

::<math>\ f=f(x,y)</math> con <math>\ x,y</math> variabili indipendenti,

dove <math>\ R</math> è il rettangolo circoscritto alla regione <math>\ \Omega</math> limitato dalle rette <math>\ x=a,\ x=b,\ y=c,\ y=d\ . </math>

 

 

:::<math>\iint_{\Omega}^{}f(x,y)\ dx\ dy=\int_{c}^{d}dy\int_{\gamma (y)}^{\delta (y)}f(x,y)\ dx=\int_{a}^{b}dx\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)}f(x,y)\ dy\ .</math>

Il valore dell'integrale doppio è indipendente dall'ordine delle due integrazioni successive .

 

 

Rappresenta il volume del solido limitato dal piano '''xy''', dalla superficie '''z=f(x, y)''' e dalla superficie cilindrica che proietta una parte della superficie '''z=f(x,y)''' nella regione '''Ω '''; se la superficie data attraversa il piano '''xy''', il volume risulta uguale alla differenza degli integrali doppi relativi alle due parti in cui la '''z=f(x,y)''' viene divisa dal piano '''xy'''.

 

<math>\iint_{\Omega}^{}f(x,y)dxdy=\lambda\bar\Omega,</math> essendo <math>\ \bar\Omega=</math> area della regione <math>\ \Omega</math> e <math>\ l<\lambda<\ L,</math> dove <math>\ l</math> e <math>\ L</math> sono rispettivamente l'estremo inferiore e superiore di <math>\ f(x,y)</math> in <math>\ \Omega.</math>

 

Se <math>\ f(x,y)</math> è continua in <math>\ \Omega,</math> <math>\ \lambda=f(\bar x,\bar y)</math> esendo <math>\ (\bar x,\bar y)</math> un punto di <math>\ \Omega.</math>

 

::::<math>\iint_{\Omega}^{}{\partial f\over\partial x}dxdy=\oint_{\gamma}^{}f(x,y)dy</math>

 

essendo <math>\ f(x,y)</math> una funzione continua in <math>\ \Omega</math> e <math>\ \gamma</math> il contorno chiuso di <math>\ \Omega.</math>

 

::::<math>\iint_{\Omega}^{}({\partial B\over\partial x}-{\partial A\over\partial y})dxdy=\oint_{\lambda}^{}(Adx+Bdy),</math>

 

Le formule esposte servono a trasformare un integrale doppio di campo in un integrale curvilineo o viceversa.

 

 

Se si pone:

:::<math>\iint_{\Omega}^{}f(x,\ y)\ dx\ dy=\iint_{\wedge}^{}f(\rho\cos\theta,\ \rho\sin\theta)\ \rho\ d\rho\ d\theta.</math>

 

 

::<math>\ C=</math> regione semplice spaziale <math>\ V\ ,</math>

::::::<math>\ g(x,\ y,\ z)=\begin{cases}f(x,\ y,\ z)\quad\ in\ V\\0\quad\ in\ P\ fuori\ di\ V.\end{cases}</math>

 

 

:::<math>\iiint_{V}^{}f(x,\ y,\ z)\ dx\ dy\ dz=\int_{z_1}^{z_2}dz\int_{y_1(z)}^{y_2(z)}dy\int_{x_1(x,y)}^{x_2(y,z)}f(x,\ y,\ z)dx</math>

essendo : <math>\ x_1(y,\ z)</math> e <math>\ x_2(y,\ z)</math> le ascisse dei punti <math>\ P_1,\ P_2</math> in cui una parallela generica all'asse <math>\ x</math> incontra la superficie limitatrice della regine <math>\ V\ ;</math> <math>\ y_1(z)</math> e <math>\ y_2(z)</math> sono le <math>\ y</math> di contatto <math>\ Q_1,\ Q_2</math> delle tangenti parallele all'asse <math>\ x</math> alla seione della superficie con un piano parallelo al piano <math>\ xy</math> per la retta <math>\ P_1P_2\ ;</math> infine le <math>\ z_1</math> e <math>\ z_2</math> sono le <math>\ z</math> dei punti di contatto con la superficie limitatrice dei piani tangenti alla superficie stessa, parallela al piano <math>\ xy\ .</math>

 

 

rappresenta la massa della regione <math>\ V</math> quando <math>\ f(x\,\ y,\ z)</math> ne rappresenti la densità.

 

 

::<math>\int_{}^{}\int_{}^{}\int_{V}^{}F(x,y,z)dx\ dy\ dz=\lambda \bar V\ ,</math>

essendo <math>\ \bar V</math> il volume della regione <math>\ V</math> ed avendo <math> \ \lambda</math> il solito significato .

 

 

Se si pone <math>\ :\qquad\begin{cases}x=\varphi(u,v,w)\\y=\psi(u,v,w)\\z=\chi(u,v,w)\end{cases}</math>

<math>\iiint_{V}^{}f(x,y,z)\ dx\ dy\ dz=\iiint_{U}^{}f[\varphi(u,v,w),\psi(u,v,w),\chi(u,v,w)]\cdot \begin{vmatrix}J\begin{pmatrix}\varphi,&\psi,&\chi\\u,&v,&w\end{pmatrix}\end{vmatrix}du\ dv\ dw\ .</math>

 

 

::<math>\int_{}^{}\int_{}^{}\int_{V}^{}div.\Phi\ d\tau=\iint_{S}^{}\Phi\times dS </math>

 

{{Avanzamento|100%|2 giugno 2015}}

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