Analisi matematica/Funzioni algebriche razionali: differenze tra le versioni
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{{analisi matematica I}}
essendo '''x<sub>0</sub> ...x<sub>n</sub>'''; '''A<sub>0</sub>'''...'''A<sub>n</sub>''' numeri noti, il polinomio '''f(x)''' è dato dalla formula: '''f(x)=A<sub>0</sub>f<sub>0</sub>(x)+A<sub>1</sub>f<sub>1</sub>(x)+...+A<sub>n</sub>f<sub>n</sub>(n),'''
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Da questa formula consegue:
▲<math>\ b)\qquad principio\ di\ identita'\ dei\ polinomi:</math> Condizione necessaria e sufficientee perché due polinomi siano identicamente uguali, cioè uguali per ogni valore della <math>\ x,</math> è che abbiano uguali i coefficienti delle stesse potenze della <math>\ x.</math>
==
:::<math>\ (x+y)^n=x^n+\binom{n}{1}x^{n-1}y+\binom{n}{2}x^{n-2}y^2+...+\binom{n}{k}x^{n-k}y^k+...+\binom{n}{n}y^n,</math>
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::<math>\binom{n}{0}+\binom{n}{1}+...+\binom{n}{n}=2^n;\quad \binom{n}{0}+\binom{n}{2}+\binom{n}{4}+..=\binom{n}{1}+\binom{n}{3}+...</math>
==
::<math>(x_{1}+x_{2}+...+x_{n})^m=\sum{m!\over \lambda_{1}!\lambda_{2}!...\lambda_{n}!}\ x_{1}^{\lambda_{1}} x_{2}^{\lambda_{2}}...x_{n}^{\lambda_{n}},</math>
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la somma essendo estesa a tutti quei gruppi di numeri '''λ<sub>1</sub>,λ<sub>2</sub>,..λ<sub>n</sub>''' interi tali che '''λ<sub>1</sub>+λ<sub>2</sub>+...+λ<sub>n</sub>=m.'''.
L'equazione<math>:\qquad f(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+...+a_{n-1}x+a_{n}=0</math>
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:::::<math>\ f(x)=a_0(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)....(x-\alpha_n).</math>
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<math>\ a)\quad {x^m-a_m\over x-a}=x^{m-1}+ax^{m-2}+a^2x^{m-3}+....+a^{m-2}+a^{m-1}</math>
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Le costanti <math>\ c_i</math> si determinano ancora riducendo l'eguaglianza a forma intera ed applicando poi il principio di identità dei polinomi.
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::::<math>\begin{cases}x_1+x_2+...+x_n=-{a_1\over a_0}\\x_1x_2+x_2x_3+...+x_{n-1}x_n={a_2\over a_0}\\...\\\sum x_1x_2...x_r=(-1)^r{a_r\over a_0}\\x_1x_2....x_n=(-1)^n{a_n\over a_0}.\end{cases}</math>
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Queste relazioni permettono di costruire un'equazione note le sue radici.
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è la funzione simmetrica delle radici:
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Per l'equazione <math>\ ax^2+bx+c=0</math> si ha: <math>\ D=b^2-4ac</math> e per l'equazione <math>\ x^3+px+q=0,</math> si ha: <math>\ D=-108({p^3\over 27}+{q^2\over 4}).</math>
▲===campo di razionalità===
Un sistema di numeri reali o complessi forma un '''''campo di razionalità''''' quando le operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione (con divisore ≠0), riproducono numeri del sistema stesso. I numeri del sistema sono gli '''''elementi''''' del campo.
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