Analisi matematica/Sistemi lineari: differenze tra le versioni
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==Sistemi lineari==
=== n equazioni in '''n''' incognite non omogenee
Cioè sistemi quadrati. ::<math>\ sistema\qquad \begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+...+a_{1n}x_{n}=k_{1}\\a_{21}x_{2}+a_{22}x_{2}+...+a_{2n}x_{n}=k_{2}\\..........\\a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+...+a_{nn}x_{n}=k_{n}\end{cases}</math>
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Il sistema è ''determinato'' se <math>\ D\ne 0;</math> il sistema è ''impossibile'' se '''D=0''' e qualche <math>\ D_{r}\ne 0;</math> se infine <math>\ D=D_{1}=...=D_{n}=0,</math> il sistema dato è ''indeterminato'' o ''impossibile.''
===m equazioni in n incognite non omogenee
::<math>\ sistema\qquad \begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+...+a_{1n}x(n)=k_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+...+a_{2n}x_{n}=k_{2}\\...........\\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+...+a_{mn}x_{n}=k_{m}\end{cases}</math>.
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dove <math>\ U_i</math> rappresenta il primo membro della <math>\ i^{ma}</math> equazione del sistema uguagliata a <math>\ 0</math> ed il determinante do ordine <math>\ r</math> formato con i coefficienti delle prime <math>\ r</math> equazioni è <math>\ne 0.</math> Il sistema è <math>\ (n-r)</math> volte indeterminato.
===n equazioni lineari omogenee in n incognite
::::sistema<math>:\qquad\begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+...+a_{1n}x_{n}=0\\a_{21}x{1}+a_{22}x_{2}+...+a_{2n}x_{n}=0\\...............\\a_{n1}x{1}+a_{n2}x_{2}+...+a_{nn}x_{n}=0\end{cases}</math>
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'''''soluzione''''': Se '''r''' è la caratteristica, per la ricerca delle soluzioni si procede come nel caso '''B'''.
===m equazioni lineari omogenee in n incognite
:::sistema<math>:\qquad\begin{cases}a_{11}x_{1}\ +....+a_{1n}x_{n}\ =0\\.............\\a_{m1}x_{1}+....+a_{mn}x_{n}=0\end{cases}</math>
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Se in particolare la caratteristica è '''n-1''', le incognite risultano proporzionali ai minori di ordine '''n-1''': A<sub>1</sub>, A<sub>2</sub>, ...A<sub>n</sub>, che figurano nella matrice formata dalle '''n-1''' equazioni indipendenti; precisamente si ha: '''x_{i}=(-1)<sup>{i-1}</sup>ρA<sub>i</sub>''', essendo A<sub>i</sub> il minore ottenuto sopprimendo la colonna '''i<sup>ma</sup>''' e '''ρ''' un fattore di proporzionalità.
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Per tali sistemi si procede in generale col metodo di eliminazione cercando di ottenere una risolvente ad una sola incognita, risolta la quale si possono calcolare le altre incognite con successive sostituzioni.
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