Analisi matematica/Determinanti e matrici: differenze tra le versioni
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{{analisi matematica}}
==Definizione di matrice==
* ''riga'' intendiamo le ''righe orizzontali''
* ''colonna'' intendiamo invece le ''righe verticali''
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nel qual caso il numero di righe è n, mentre quello delle colonne è m. Solitamente per denominare le matrici
si usano le lettere maiuscole latine.
*I ''numeri'' che riempiono una matrice vengono detti '''elementi''' ognuno dei quali occupa una posizione ben precisa. Un generico elemento è denotato con <math>a_{i,j}</math>, dove la coppia di indici ''i,j'' indicano rispettivamente l'i-esima riga e la j-esima colonna e determinano univocamente la posizione dell'
*La '''dimensione''' di una matrice che ha '''n''' righe e '''m''' colonne è <math>n\times m</math>
;Esempio:Sia ''A'' la seguente matrice:
::<math>A=\begin{bmatrix}1&2\\3&3\end{bmatrix}</math>
Line 21 ⟶ 20:
:L'elemento <math>a_{2,2}=3</math> perché 3 si trova all'incrocio della seconda riga e la seconda colonna
== Determinanti ==
===
::::<math>\begin{vmatrix}a&b\\a'&b'\end{vmatrix}=ab'-a'b</math>
===
:::: <math>\begin{vmatrix}a&b&c\\a'&b'&c'\\a''&b''&c''\end{vmatrix}=a(b'c''-c'b'')-b(a'c''-c'a'')+c(a'b''-b'a'')</math>
===
(regola di sviluppo di Laplace):
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::::::<math>\begin{vmatrix}a'&b'\\a'''&b'''\end{vmatrix}\begin{vmatrix}c&d\\c''&d''\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a''&b''\\a'''&b'''\end{vmatrix}\begin{vmatrix}c&d\\c'&d'\end{vmatrix}.</math>
===
::::<math>\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}...&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}...&a_{2n}\\..&..&..\\a_{n1}&a_{n2}...&a_{nn}\end{vmatrix}=a_{r1}A_{r1}+a_{r2}A_{r2}+.....+a_{rn}A_{rn},</math>
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(sviluppo di un determinante ''con due line uguali il cui valore è 0'').
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::::<math>\begin{vmatrix}1&1....&1\\a_1&a_2....&a_n\\a_1^2&a_2^2....&a_n^2\\..&..&..&\\a_1^{n-1}&a_2^{n-1}....&a_n^{n-1}\end{vmatrix}=\prod_{(r>s)}(a_r-a_s)\qquad con\ \begin{cases} r=2,3,..n\\s=1,2,..n-1\end{cases}</math>
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Questo determinante è diverso da <math>\ 0</math> se i numeri <math>\ a_1, a_2, ..a_n</math> sono differenti.
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::::<math>\ \nabla=\begin{vmatrix}A_{11}&A_{12}.....&A_{1n}\\A_{21}&A_{22}.....&A_{2n}\\..&..&..\\A_{n1}&A_{n2}.....&A_{nn}\end{vmatrix}= D^{n-1}</math>
Riga 73:
Il prodotto però può pure eseguirsi per ''verticali fra loro'' oppure anche ''con orizzontali per verticali o viceversa''.
==
Data la matrice:
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