Calcolo differenziale/Introduzione: differenze tra le versioni

Un altro vantaggio di questa impostazione è che molte dimostrazioni, se condotte a partire dal concetto di differenziale (che in quanto applicazione lineare può essere trattata in modo puramente algebrico), risultano particolarmente semplici ed immediate. Questo testo, tuttavia, si propone principalmente di fornire dei risultati, per cui le dimostrazioni non vengono date in modo del tutto rigoroso. In particolare non ci si premura di elencare per ogni teorema tutte le ipotesi necessarie per la sua dimostrazione, e ci si limita a mostrare in linea di massima come procede la dimostrazione a partire dalla definizione di differenziale, dando per scontato che ogni volta siano soddisfatti tutti i requisiti necessari per compiere i vari passaggi (funzioni sufficientemente regolari, eccetera).

 

 

Un altro vantaggio notevole di questa impostazione è che tutte le definizioni e le dimostrazioni possono essere condotte senza ricorrere alla scelta di una particolare base. Questo implica che tutte le equazioni vengono esposte e dimostrate senza far comparire le componenti al posto dei vettori, né le derivate parziali al posto degli operatori differenziali, né le componenti delle funzioni al posto delle funzioni vettoriali, né funzioni definite sulle componenti anziché sui vettori. Invece ogni grandezza vettoriale (variabile, funzione, operatore) compare esplicitamente in quanto tale, e viene manipolata sfruttando unicamente le proprietà della sua natura vettoriale. Solo alla fine, quando tutti i risultati del calcolo diffenziale vettoriale sono già stati presentati, si mostra come "proiettare" questi risultati su una base. Così facendo si vede chiaramente la continuità e la generalizzazione fra il caso monodimensionale e quello multidimensionale, e quando a livello di componenti compaiono dei termini che non trovano il corrispondente in ambito monodimensionale (come ad esempio quello che compare nella "differenziazione assoluta" delle funzioni vettoriali) tali termini diventano facilmente comprensibili in quanto "effetti della proiezione su una base" di una relazione vettoriale che invece ha un suo corrispondente evidente in ambito monodimensionale.