Propulsione aerea/Capitolo V°: differenze tra le versioni

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[[File:Engine cylinder diagram.png|engine cylinder diagram]]
 
Nella fase di andata il cilindro comunica col serbatoio a pressione '''p<sub>1</sub>''' per una frazione della sua corsa (tratto AB); chiusa la valvola di ammissione segue la trasformazione da '''B''' a '''C''' sino al punto morto inferiore; l'andamento crescente della pressione con il crescere del volume specifico a valvole chiuse è giustificato dall'assunzione che lungo '''BC''' sia somministrato al gas, con modalità qualsiasi, una certa quantità di calore '''Q'''; questa assunzione è fatta per avere un caso più generale. Per tutta la corsa di ritorno '''CD''' il cilindro viene posto in comunicazione col serbatoio a pressione '''p<sub>2</sub>''' mediante l'apertura della relativa valvola.<br />
 
Nel caso trattato non si è in presenza di un solo sistema ma di tre: gas nel serbatoio a pressione '''p<sub>1</sub>''' e nel cilindro; gas racchiuso nel cilindro; gan nel cilindro e nel serbatoio a pressione '''p<sub>2</sub>'''. In particolare uno dei serbatoi può essere l'atmosfera.<br />
Gli scambi di calore e lavoro sono sempre di facile definizione quando sono note le caratteristiche dei tre sistemi; l'energia cinetica delle masse in gioco è trascurabile. Ordinariamente i due serbatoi sono di volume talmente grande rispetto a quello del cilindro da poter ammettere invariata la pressione nei tratti '''AB''' e '''CD'''.<br />
 
Gli scambi di calore e lavoro sono sempre di facile definizione quando sono note le caratteristiche dei tre sistemi; l'energia cinetica delle masse in gioco è trascurabile. Ordinariamente i due serbatoi sono di volume talmente grande rispetto a quello del cilindro da poter ammettere invariata la pressione nei tratti '''AB''' e '''CD'''.<br />
 
L'unità di peso del gas entrando nel cilindro comunica quindi all'esterno il lavoro '''p<sub>1</sub>''' '''v<sub>1</sub>''' (area '''OABB' '''), cioè perde l'energia '''p<sub>1</sub>v<sub>1</sub>'''; lungo la trasformazione '''BC''' il lavoro è dato da
 
::::::<math>\ \int_{1}^{2}p\ dv=J\int_{1}^{2}(dQ-C_v\ dT)=J\ Q-J\ C_v(T_2-T_1)</math>
 
Q è la quantità di calore fornita durante la trasformazione.<br />
 
Poiché la diminuzione dell'energia del gas deve essere uguale al lavoro comunicato all'esterno e viceversa, assunto positivo il lavoro comunicato all'esterno, si ha:
 
<math>\ (27)\qquad L=J\ Q-J(i_2-i_1)</math>.
 
Se '''L''' risulta positivo si tratta di lavoro fornito dal gas all'esterno e viceversa. Dalla (27) si deduce che in generale la differenza tra il calore fornito e il lavoro comunicato all'esterno deve essere uguale all'aumento di entalpia.<br />
 
Generalmente nei processi di compressione ed espansione non vi sono sensibili scambi di calore; la rappresentazione sul piano '''p, v''' in questo caso è quella segnata nelle figure '''17a, b'''.
 
:::::::::figura 17a<br />
 
:::::::::figura 17b
 
::::::<math>\ k=\frac{C_p}{C_v}</math>
 
ammesso che la trasformazione '''bc''' sia adiabatica-isoentropica.<br />
 
Spesso si legge o si sente ripetere che il gas ha percorso il ciclo '''ABCDA'''; errore concettuale molto grave; non si può parlare in questo caso di ciclo; tutto l'insieme è una successione di fatti che non ha niente in comune coi cicli veri e propri che si riferiscono, tra l'altro, sempre a una massa costante del fluido interessato.<br />
 
La (27) in termini differenziali diviene:
 
<math>\ (28')\qquad dL=-v\ dp=-L\ di</math>
 
Si è detto che il lavoro in questo processo è rappresentato in valore e segno dall'area '''ABCD'''; la (28') conferma questo fatto poiché l'area elementare è rappresentata proprio dal rettangolo di base '''dp''' e altezza '''v'''.<br />
 
Concludendo resta quindi stabilito che nei processi di compressione ed espansione del tipo descritto, senza scambio di calore, il lavoro in valore e segno è dato dalla differenza di entalpia tra lo stato iniziale e finale del gas.
 
===Processi di compressione ed espansione nelle macchine rotative===
Si ammette il processo a regime; si ammette cioè che il gas possa variare di stato in ogni punto del sistema ma non nel tempo.<br />
 
Questo è il caso tipico delle macchinne operatrici rotative (compressori assiali, centrifughi, misti, ventilatori, soffianti, ecc.) e delle macchine motrici rotative (turbine, molinelli, ruote eoliche, ecc.).<br />
 
Riferiamoci per esempio a una girante di qualsiasi tipo (per esempio di tipo centifugo in fig. 18) e supponiamo che la velocità del gas sia trascurabile entro i condotti di ingresso e di uscita; da questa ipotesi restrittiva ci libereremo in seguito.
 
[[File:Rotative diagram.png|Rotative diagram]]
 
Consideriamo due sezioni del condotto: una nel condotto di ingresso '''1''' e l'altra '''2''' nel condotto d'uscita.<br />
 
L'unità di peso del gas nella sezione '''1''' fa il lavoro '''p<sub>1</sub> v<sub>1</sub>'''; entro il dispositivo avviene la trasformazione che porta lo stato fisico da '''1''' a '''2'''; all'uscta il gas dovendo vincere la pressione '''p<sub>2</sub>''' compie il lavoro '''p<sub>2</sub> v<sub>2</sub>'''.<br />
 
Con le convenzioni fatte al numero precedente si ricava:
 
::::::<math>\ L=p_1\ v_1+\int_{1}^{2}p\ dv-p_2\ v_2</math>
 
identica alla (26).<br />
 
Vediamo che nulla è cambiato rispetto alle macchine alternative; la sola differenza, inessenziale dal punto di vista del processo, è nella modalità di rinnovo del gas che ora è continuo; anche per questo caso non si può parlare di ciclo ma di successione di fatti fisici. Tutte le considerazioni precedentemente svolte sono valide per le macchine rotative.
 
::::::<math>\ p_1+\frac{\rho\ V_1^2}{2}=p_2+\frac{\rho\ V_2^2}{2}</math>
 
notissima relazione dovuta a Daniel Bernouilli.<br />
 
Tra due sezioni molto vicine la (30) diviene
 
::::::<math>\ \frac{V\ dV}{g}=-J\ di</math>.
 
Nel moto nei condotti quando non vi sono scambi di calore l'aumento dell'energia cinetica è uguale alla diminuzione dell'entalpia e viceversa.<br />
 
Della (30') può darsi altra diretta dimostrazione; si consideri la massa '''dm''' tra due sezioni molto vicine di un condotto (fig.20); '''dm=Ω ρ dx'''; rimoviamo i vincoli di questo sistema elementare sostituendo al confine di esso la distribuzione di pressioni dovute ai vincoli rimossi; si ha allora la distribuzione di pressioni uniformi '''p''' sulla faccia anteriore nel senso del moto, la distribuzione '''p+dp''' in senso contrario sulla faccia posteriore e la pressione
 
::::::<math>\ J\ dQ=J\ C_v\ dT+p\ dv</math>
 
La (32) condiziona il moto del centro di gravità della massa, la precedente condiziona il moto d'insieme delle molecole rispetto al centro di gravità.<br />
 
Sommandole si ricava:
 
::::::<math>\ \frac{V\ dV}{g}=J\ dQ-J\ C_v\ dT-p\ dv-v\ dp=J\ dQ-j\ di</math>
 
coincidente con la (30').<br />
 
Ricordando la (6)
 
<math>\ (33')\qquad \frac{k-1}{2}dV^2=-dV_s^2</math>
 
con '''V<sub>s</sub>''' la velocità del suono per le condizioni in atto del gas (velocità locale del suono).<br />
 
Integrando si trova
 
 
===Caso generale===
Supponiamo ora il caso più generale possibile. Nei casi particolari prima trattati si è supposto che non vi siano perdite interne al sistema di alcun genere per vortici, attrito, onde d'urto, ecc. e che non vi siano variazioni di energia da altezza del fluido (energia potenziale dovuta alla gravità).<br />
 
Indicando con '''dL<sub>p</sub>''' le perdite passive e con '''dZ''' la variazione dell'energia di altezza l'equazione in termini differenziali della conservazione dell'energia nel caso più generale, diviene, dopo quanto esposto
 
<math>\ (34)\qquad J\ dQ-dL-d\ L_p-dZ=J\ C_v\ dT+p\ dv+v\ dp+\frac{V\ dV}{g}=J\ di+\frac{V\ dV}{g}</math>.
 
Questa relazione importantissima e che racchiude ogni caso precedentemente trattato sarà largamente impiegato in seguito nello studio effettivo delle macchine per la propulsione aerea.<br />
 
Per i gas usualmente può trascurarsi l'effetto di '''dZ''' sempre molto piccolo rispetto agli altri. È bene fare presente esplicitamente che il lavoro corrispondente alle perdite passive '''dL<sub>p</sub>''' non è perduto ma rimane in seno al fluido sotto forma di calore; in realtà quindi il '''dQ''' della (34) è somma del '''dQ<sub>est</sub>'''scambiato con l'esterno, e del '''dQ=J dL<sub>p</sub>'''.
 
::::::<math>\ dL=-J\ di-\frac{V\ dV}{g}</math>.
 
In questo caso si è in presenza di un processo adiabatico ma non isoentropico; l'equazione dell'energia rimane la stessa nei due casi (l'energia non può perdersi) ma i parametri fisici seguono leggi diverse dipendenti dalle modalità delle perdite interne; in un caso l'entropia non varia, nell'altro cresce pur conservandosi l'energia totale in gioco.<br />
 
La differenza compare nell'equazione in termini finiti perché quando vi sono perdite la differenza di entalpia e di energia cinetica si riducono rispetto a quelle disponibili nel processo isoentropico; così pure il lavoro.
 
===Entropia ed entalpia===
In tutti i processi prima descritti, con rinnovo periodico o continuo del gas, si è visto che gioca un ruolo fondamentale la funzione di stato '''entalpia'''.<br />
 
Si è visto che nei processi senza scambio di calore e isoentropici la diminuzione di entalpia è uguale al lavoro ceduto all'esterno o all'energia cinetica conferita al gas o a entrambi e viceversa.<br />
Si è visto pure che nei processi nonsenza scambio di calore e isoentropici questela modalitàdiminuzione rimangonodi conentalpia leè minorazioniuguale definibilial dilavoro voltaceduto inall'esterno voltao dipendentiall'energia dalcinetica processoconferita effettivo.<bral />gas o a entrambi e viceversa.
 
Nello studio delle macchine con processi aperti (turbine, compressori, trattori, autoreattori, ecc.) sono utilissimi quindi le rappresentazioni sul piano '''entalpie-entropie'''.<br />
Si è visto pure che nei processi non isoentropici queste modalità rimangono con le minorazioni definibili di volta in volta dipendenti dal processo effettivo.
Se il calore specifico '''C<sub>p</sub>''' fosse costante, l'entalpia sarebbe proporzionale alla temperatura assoluta e quindi, salvo la scala delle ordinate, il piano '''i-S''' non differirebbe dal piano '''T-S'''. Poiché '''C<sub>p</sub>''' varia con '''T''' ne viene che i due piani con le relative linee di riferimento differiscono alquanto, sebbene qualitativamente le linee di trasformazione abbiano andamenti analoghi.<br />
 
I diagrammi '''entropie-entalpie''' sono anche detti di Mollier in onore del fisico che per primo li introdusse nella tecnica. Il vantaggio di questi diagrammi nei calcoli è evidente poiché le grandezze in gioco sono rappresentate da segmenti di immediata determinazione invece che da aree così come avviene nei piani '''p, v''' e '''T, S'''.<br />
Nello studio delle macchine con processi aperti (turbine, compressori, trattori, autoreattori, ecc.) sono utilissimi quindi le rappresentazioni sul piano '''entalpie-entropie'''.<br />
Sul piano '''i, S''' completo sono tracciate le linee '''p=cost''' , '''v=cost''' e '''T=cost'''.<br />
 
Se il calore specifico '''C<sub>p</sub>''' fosse costante, l'entalpia sarebbe proporzionale alla temperatura assoluta e quindi, salvo la scala delle ordinate, il piano '''i-S''' non differirebbe dal piano '''T-S'''. Poiché '''C<sub>p</sub>''' varia con '''T''' ne viene che i due piani con le relative linee di riferimento differiscono alquanto, sebbene qualitativamente le linee di trasformazione abbiano andamenti analoghi.<br />
 
I diagrammi '''entropie-entalpie''' sono anche detti di Mollier in onore del fisico che per primo li introdusse nella tecnica. Il vantaggio di questi diagrammi nei calcoli è evidente poiché le grandezze in gioco sono rappresentate da segmenti di immediata determinazione invece che da aree così come avviene nei piani '''p, v''' e '''T, S'''.<br />
 
Sul piano '''i, S''' completo sono tracciate le linee '''p=cost''' , '''v=cost''' e '''T=cost'''.<br />
 
Poiché
 
Integrando e passando dai logaritmi naturali ai numeri si trova rispettivamente poiché:
 
::::::<math>\ i=C_p\ T</math><br />
 
 
::::::<math>\ i=i_0\ e^{\frac{S-S_0}{C_v}}\qquad i=i_0\ e^{\frac{S-S_0}{C_p}}</math>
 
'''T<sub>0</sub>''' e '''i<sub>0</sub>''' costanti dell'integrazione, sono le condizioni iniziali.<br />
 
Supposti quindi i calori specifici costanti le linee '''v=cost''' e '''p=cost''' sono esponenziali e poiché '''C<sub>v</sub>'''<'''C<sub>p</sub>''' le linee '''v=cost''' crescono più rapidamente di quelle '''p=cost'''.<br />
Poiché '''C<sub>v</sub>''' e '''C<sub>p</sub>''' sono variabili e poiché non si può prescindere alle alte temperature dalla dissociazione, le linee effettive pur mantenendo lo stesso andamento sono leggermente diverse da quelle prima definite con '''C<sub>v</sub>''' e '''C<sub>p</sub>''' costanti.<br />
 
Poiché '''C<sub>v</sub>''' e '''C<sub>p</sub>''' sono variabili e poiché non si può prescindere alle alte temperature dalla dissociazione, le linee effettive pur mantenendo lo stesso andamento sono leggermente diverse da quelle prima definite con '''C<sub>v</sub>''' e '''C<sub>p</sub>''' costanti.<br />
 
Comunque è possibile costruire i diagrammi '''i, S''' per ogni tipo di gas e relativi miscugli.
{{Avanzamento|100%|15 febbraio 2013}}
 
===Processi adiabatici ed entropia costante ed entalpia costante nei condotti===
Si è detto del processo adiabatico e isoentropico, cioè del processo ideale senza scambi di calore; in esso gli aumenti di entalpia corrispondono a diminuzione di energia cinetica e viceversa.<br />
 
Supponiamo ora di avere un condotto con ostruzioni interne comunque realizzate (caso pratico classico [[w:tenuta meccanica|le tenute a labirinto]] per contenere le fughe di vapore o di gas nelle macchine termiche rotative).<br />
Le ostruzioni hanno lo scopo di convertire gli incrementi di energia in calore mediante esaltazione della dissipazione interna dovuta alla viscosità del fluido; al limite si può pensare durante il processo '''dv≅0'''; poiché '''dQ<sub>est=0</sub>''', '''dZ=0''', '''dL=0'''(non vi è cessione di lavoro all'esterno) si ricava '''di=0'''.<br />
 
Il processo avviene a entalpia costante; il gas, che nell'espansione tende a raffreddarsi, viene riscaldato dall'energia cinetica dissipata a mano a mano in calore; non vi è perdita di energia, ovviamente, ma degradazione totale col massimo possibile di entropia; il gas si espande e il volume specifico aumenta; se si assume '''C<sub>p</sub>''' costante durante il processo si ha '''T''' costante, da cui segue '''p v=cost'''; questo processo porta il gas alla pressione esterna senza variazioni di temperatura.<br />
Le ostruzioni hanno lo scopo di convertire gli incrementi di energia in calore mediante esaltazione della dissipazione interna dovuta alla viscosità del fluido; al limite si può pensare durante il processo '''dv≅0'''; poiché '''dQ<sub>est=0</sub>''', '''dZ=0''', '''dL=0'''(non vi è cessione di lavoro all'esterno) si ricava '''di=0'''.<br />
È bene avvertire esplicitamente di non fare confusione tra questo particolare processo e quello isotermico studiato a suo tempo per il quale si ha cessione di lavoro all'esterno a spese del calore scambiato (Cap. III); il processo prima scritto è adiabatico.<br />
 
In fig. 21 sono riportati i due casi limite.<br />
Il processo avviene a entalpia costante; il gas, che nell'espansione tende a raffreddarsi, viene riscaldato dall'energia cinetica dissipata a mano a mano in calore; non vi è perdita di energia, ovviamente, ma degradazione totale col massimo possibile di entropia; il gas si espande e il volume specifico aumenta; se si assume '''C<sub>p</sub>''' costante durante il processo si ha '''T''' costante, da cui segue '''p v=cost'''; questo processo porta il gas alla pressione esterna senza variazioni di temperatura.<br />
 
È bene avvertire esplicitamente di non fare confusione tra questo particolare processo e quello isotermico studiato a suo tempo per il quale si ha cessione di lavoro all'esterno a spese del calore scambiato (Cap. III); il processo prima scritto è adiabatico.<br />
 
In fig. 21 sono riportati i due casi limite.<br />
 
 
::::::::::figura 21
 
Poiché anche gli ugelli, liberi da ostruzioni e lisci, presentano un minimo di dissipazione per il frenamento della corrente dovuto allo [[w:strato limite|strato limite]], l'espansione non sarà mai rigorosamente a entropia costante; lo stato finale reale del gas sarà caratterizzato da minore entalpia e maggiore entropia.<br />
 
I processi a degradazione totale nella tecnica sono chiamati anche processi di strozzamento perché si presentano per brusche riduzioni delle sezioni di efflusso.
 
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