Propulsione aerea/Capitolo VI°: differenze tra le versioni

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::::::<math>\ V_e=\sqrt[2]{\frac{2}{\rho}(p_1-p_0}</math>.
 
Indicando con '''G''' la portata (peso affluente nell'unità di tempo) si ha per ogni sezione del condotto di area '''Ω''', '''G=g ρ Ω V=cost.'''<br />
 
Ne viene
 
::::::<math>\ \Omega=\frac{G}{g\ \rho\ V}</math>
 
cioè la sezione del condotto diminuisce costantemente al crescere di '''V''' poiché '''ρ''' per i liquidi non varia.<br />
 
L'ugello di efflusso per i liquidi è quindi convergente.<br />
 
Supponiamo ora di avere un gas alla pressione '''p<sub>1</sub>''' e temperatura '''T<sub>1</sub>''' racchiuso nentro un recipiente e lo si faccia effluire con modalità analoghe alle precedenti. L'efflusso sia adiabatico ed isoentropico; trascuriamo le eventuali variazioni di altezza; poiché non vi è scambio di lavoro con l' esterno la relazione di energia (34) in termini finiti fornisce per la sezione generica a temperatura '''T'''
 
::::::<math>\ \Omega=\frac{G}{g\ \rho\ V}</math>
 
L'andamento della sezione dipende da '''ρ''' e '''V''' entrambi variabili in senso contrario poiché al crescere di '''V''' il gas, raffreddandosi, diminuisce di densità; nulla quindi può dirsi a priori sull'andamento della sezione del condotto.<br />
 
La quantità:
 
 
===Condizioni critiche===
Dalla precedente relazione si vede che per '''x=1''' (cioè '''T=T<sub>1</sub>''' inizio del condotto) '''Φ=0''' ( cioè il condotto ha sezione molto grande, teoricamente '''∞'''); poiché con l'espansione '''T''' diminuisce, '''x''' diviene minore dell'unità e tenderebbe a zero quando la '''T''' tende allo zero assoluto (ammesso che il gas non passi allo stato liquido); per '''x=0''' si ha quindi nuovamente '''Φ=0''' e szione del condotto '''→0'''.<br />
 
Traquesti estremi deve esserci quindi una sezione di area minima cui corrisponde '''Φ''' massimo.<br />
 
Il massimo del flusso corrisponde al massimo dell'espressione sotto il radicale; derivando ed uguagliando a zero la
 
<math>\ (35)\qquad V_{cr}=\sqrt[2]{\frac{k-1}{k+1}2\ g\ J\ C_p\ T_1}</math>.
 
La sezione di area minima è chiamata '''sezione critica'''; i rispoettivi valori di temperatura, densità, pressione e velocità sono detti pure critici.<br />
 
Risulta quindi riepilogando:
 
 
===Ugello del Laval-velocità supersoniche===
Dalle considerazioni svolte si conclude che se la pressione all'esterno è superiore a quella critica, avanti definita, l'ugello è convergente.<br />
 
Se inferiore l'ugello è prima vonvergente, sino alla sezione critica e poi divergente; questo ugello è detto anche di '''De Laval''' in onore del fisico che per primo chiarì questi aspetti dell'efflusso. Se
 
::::::<math>\ p_0=p_{cr}</math>
 
l'ugello si arresta alla sezione critica (fig.22a,b,c).<br />
 
Vi è dunque nell'efflusso un comportamento diverso tra liquidi e gas proprio a causa della compressibilità.
 
<math>\ (37)\qquad M_{loc}=\frac{V}{V_s}=(\frac{2}{k-1})^{\frac{1}{2}}(\frac{1-x}{x})^{\frac{1}{2}}</math>
 
per '''x=1''' (inizio del condotto), '''M<sub>loc</sub>=0''' come era da attendersi poiché il gas è fermo.<br />
 
Per '''x=0''' (velocità di efflusso limite, '''M<sub>loc</sub>=∞; per
 
 
(condizioni critiche), '''M<sub>loc</sub>=1'''; cioè nella sezione critica la velocità della corrente coincide con la velocità locale del suono; segue inoltre che le velocità a monte della sezione critica sono subsoniche, a valle supersoniche. Risultato importantissimo della gas-dinamica per le applicazioni alle turbine a vapore ed a gas, agli eiettori, alle gallerie aerodinamiche
, ai reattori ed autoreattori, agli ugelli dei razzi e dei missili ecc.<br />
 
Per maggiore chiarezza in fig,23 sono riportati gli andamenti di '''V<sub>0</sub>''', '''V<sub>s</sub>''', '''M<sub>loc</sub>''', in corrispondenza delle varie sezioni di un ugello di '''De Laval'''.<br />
 
La velocità del suono nelle condizioni iniziali è:
 
[[file:immagini.png|right]]
 
Poiché, come dimostrato, nella parte divergente dell'ugello le velocità sono supersoniche, ne segue che un disturbo qualsiasi non può rimontare la corrente e ripercuotersi avanti all'ostaclo stesso: il suono rimane entro il relativo cono locale di '''Mach''' a norma delle considerazioni svolte al Cap.I°.<br />
 
Riprendiamo la (37) e sostituiamo per '''x''' il valore
 
 
===Autocompressione isentropica===
Nelle considerazioni precedenti si è fatto riferimento a processi di espansione (corrente accelerata); ma quanto detto in sostanza per l'espansione vale per la compressione spontanea che si ottiene trasformando l'energia cinetica in entalpia (corrente ritardata); così (sempre supponendo il processo isoentropico) per trasformare tut\ta l'energia cinetica in pressione necessita un condotto convergente per velocità subsoniche, prima convergente e poi divergente per velocità supersoniche.<br />
 
Se la corrente ha il '''n.di Mach M''', dalla (38) si ottiene il rapporto di compressione:
 
[[File:Fig.24.png|300px]]
Una osservazione si impone; tutta la trattazione e tutte le formule non dicono quale forma debbono avere le sezioni e con quale legge debbono succedersi; in altre parole il condotto può essere allungato od accorciato a piacere e le sezioni comunque variare di forma a parità di area.<br />
 
In realtà perché il fenomeno non presenti anomalie si richiede che il tratto divergente vari di sezione gradualmente in modo da evitare distacchi di corrente dalle pareti e che le sezioni varino di forma anche esse gradualmente; ordinariamente le sezioni nelle applicazioni concrete hanno forma rettangolare o circolare.<br />
 
L'angolo di apertura del tratto divergente è sui '''12°÷15°'''; angoli più piccoli, esigendo condotti più lunghi, darebbero luogo a maggiori perdite per attrito.
 
 
===Onde d'urto===
Nelle considerazioni svolte si è ammesso che i parametri fisici '''p, ρ, T, V''' varino con continuità e gradualmente entro tutto il campo interessato. Teoria ed esperienza mostrano però che in determinate circostanze i parametri fisici possono variare bruscamente.<br />
 
I moti subsonici sono caratterizzati proprio dal fatto che '''p, ρ, T, V,''' variano gradualmente entro tutto il campo ed alla superficie dei corpi interessati; questa gradualità non si verifica per deflussi transonici e supersonici ed in certe zone del gas si constatano incrementi rilevanti localizzati dei parametri fisici inevitabili per ristabilire le condizioni di continuità; questi incrementi possono essere concepiti, al limite, come vere e proprie discontinuità; pressioni, densità, temperatura e velocità variano quasi a colpo entro spessori molto sottili del gas; queste discontinuità vanno sotto il nome generico di '''[[w:onda d'urto|onde d'urto]]''' (shoock waves degli anglosassoni). La forma e la distribuzione di queste onde nel caso più generale è funzione dei parametri fisici della corrente '''k''' ed '''M''', della forma e dello orientamento rispetto alla corrente dell'ostacolo che interferisce con la corrente.<br />
La '''gas-dinamica''' permette di ricavare la distribuzione di queste onde e dimostra che non possono esistere discontinuità di espansione ma soltanto di compressione ; attraverso un'onda d'urto la velocità subisce una brusca diminuzione mentre la pressione , la densità e la temperatura subiscono un brusco aumento.<br />
 
Il fenomeno dell'urto è adiabatico ma non isoentropico; la entro pia del gas aumenta attraverso la discontinuità.<br />
La '''gas-dinamica''' permette di ricavare la distribuzione di queste onde e dimostra che non possono esistere discontinuità di espansione ma soltanto di compressione ; attraverso un'onda d'urto la velocità subisce una brusca diminuzione mentre la pressione , la densità e la temperatura subiscono un brusco aumento.<br />
Per la determinazione dei parametri fisici necessitano quattro relazioni. Esse sono in generale: l'equazione della continuità, l'equazione della quantità di moto, l'equazione di stato e l'equazione della conservazione dell'energia. <br />
 
L'onda d'urto a seconda delle modalità del deflusso può essere obliqua o normale alla direzione della velocità della corrente in arrivo nel posto considerato.<br />
Il fenomeno dell'urto è adiabatico ma non isoentropico; la entro pia del gas aumenta attraverso la discontinuità.<br />
 
Per la determinazione dei parametri fisici necessitano quattro relazioni. Esse sono in generale: l'equazione della continuità, l'equazione della quantità di moto, l'equazione di stato e l'equazione della conservazione dell'energia. <br />
 
L'onda d'urto a seconda delle modalità del deflusso può essere obliqua o normale alla direzione della velocità della corrente in arrivo nel posto considerato.<br />
 
La gas-dinamica fornisce i metodi per lo studio generale delle onde. E' di particolare interesse l'onda d'urto normale alla corrente in arrivo.
 
<math>\ (4)\qquad \frac{V_0^2}{2\ g}+C_p\ T_0=\frac{V_1^2}{2\ g}+C_p\ T_1</math>
 
La '''(1)''' si afferisce alla '''continuità''', la (2) alla '''quantità di moto''', la (3) alla '''equazione di stato''' e la (4) alla '''energia'''.<br />
 
Risolvendo il sistema precedente è facile, a parte la soluzione banale
 
::::::<math>\ M_1^2=\frac{5+M^2}{7\ M^2-1}</math>
 
Queste considerazioni sono v alide ovviamente per '''M>1''' cioè per corrente in arrivo supersonica; infatti per '''M<1''' il numero di '''Mach''' diviene immaginario e questo conferma che l'urto è possibile per velocità supersoniche solamente.<br />
 
E' facile vedere inoltre dalle precedenti che si ha sempre '''M<1''', cioè per onda d'urto normale la corrente di velocità '''V<sub>1</sub>''' è subsonica mentre quella a velocità '''V<sub>0</sub>''' è supersonica.<br />
 
Il punto figurativo '''1''' delle condizioni del gas dopo l'urto è sulla linea '''p<sub>1-ur</sub>''' costante (fig.25); esso ha temperatura ed entropia più grandi del punto '''0'''' corrispondente allo stesso rapporto di compressione isoentropica. I valori '''C<sub>p</sub>(T<sub>0'</sub>-T<sub>0</sub>)''' e '''C<sub>p</sub>(T<sub>1-ur</sub>-T<sub>0</sub>)''' rappresentano rispettivamente il lavoro di compressione isoentropico adiabatico per urto; il rapporto tra questi lavori è il cosi detto rendimento adiabatico '''η<sub>ad</sub>'''.
 
::::::<math>\ S_0\qquad e \qquad C_p\ T_0'=i_0'</math>
 
coordinate del punto '''0''''.<br />
 
Dalle precedenti si ottiene facilmente l'aumento di entropia ed il rendimento adiabatico per urto normale:
 
 
===Autocompressione con urto===
Con le formule precedenti si possono calcolare le condizioni subito dopo l'imbocco di una presa dinamica o di un diffusore in corrente supersonica (fig.26); l'onda d'urto normale alla bocca è piana, conica per il resto.<br />
 
Poiché la corrente '''V<sub>1</sub>''' è subsonica è possibile con un condotto divergente trasformare l'energia cinetica
 
::::::<math>\ (\frac{T_1}{T_0})_{is}</math>
 
dell'ipotesi isoentropica; questo fatto era da aspettarsi per la conservazione dell'energia; infatti l'energia cinetica non può trasformarsi altro che in entalpia e a parità di temperatura iniziale deve essere quella finale necessariamente uguale sia per il caso entropico che per il caso con urto.<br />
 
Nella figura 27a,b, sono riportati alcuni valori delle espressioni avanti ricavate.<br />
 
 
::::::::::::figura 27a,b
 
Le minorazioni del rapporto di compressione possono ottenersi agli alti numeri di '''Mach''' con bocche ad onde d'urto oblique.<br />
 
Gli aumenti di entropia con onda d'urto normale sono i più alti possibili. Su qiesto aspetto si ritornerà parlando degli autoreattori supersonici.
 
<math>\ (42)\qquad \frac{T_1}{T_0}=1+\frac{k-1}{2}\ M^2</math>
 
con '''T<sub>1</sub>''' temperatura di arresto e '''T<sub>0</sub>''' della corrente di '''Nr.Mach M'''.<br />
 
La temperatura '''T<sub>1</sub>''' si presenta quindi sui bordi di attacco delle ali, sulla prua delle fusoliere, entro le prese dinamiche dei condotti dei reattori ed autoreattori, ecc.<br />
 
Per l'aria
 
::::::<math>\ \frac{T_1}{T_0}</math>
 
comincia a crescere rapidamente.<br />
 
Per:
 
::::::<math>\ T_0=273\ K (0\ C)\quad T_1=327\ K</math>,
 
l'aumento è di circa '''54°C''', nella stratosfera '''T<sub>0</sub>=228°K (-55°C)''', quindi, '''T<sub>1</sub>=273°K''', corrispondente quasi a 0°C.<br />
 
Per '''M=2''' a bassa quota si ha l'incremento del '''80%''', pari circa a '''218°C''' e nella stratosfera l'aumento di '''182°C'''.<br />
 
Sul grafico di fig.28 è riportato l'andamento di
 
:::::::::::::fiura 28
 
Al crescere della velocità l'aumento della temperatura comincia ad essere incompatibile con le possibilità del fisico umano innanzi tutto; supposto risolto il problema di proteggere l'equipaggio con opportuna refrigerazione, rimane il problema della resistenza dei materiali alle sollecitazioni meccaniche ed alle ossidazioni a caldo.<br />
 
A 300 °C la resistenza del duralluminio è scesa circa a metà della resistenza a freddo; a bassa quota quindi
 
::::::<math>\ \frac{T_1}{T_0}=1,93</math>
 
a questi valori corrispondono i numeri di Mach pari a circa '''2,35''' e '''2,15''', cioè '''2800 k/ora''' e '''22300 k/ora''' circa: però l'ossidazione a caldo limita ancor più questi valori.<br />
 
Per gli acciai legati inossidabili delle migliori qualità e per le leghe speciali a circa '''800 °C''' (colore rosso chiaro) la resistenza tende a svanire. A queste temperature corrispondono '''M=4,4''' a bassa quota ed '''M=4,3''' nella stratosfera, cioè circa '''5400 k/ora''' e '''4400 k/ora'''; in alte parole alle alte velocità il velivolo od il missile tendono a comportarsi come meteore.<br />
Questi sarebbero quindi, grosso modo, i limiti spinti di velocità nel volo di regime prolungato per i fatti di temperatura nei riguardi della resistenza dei materiali ove non si provveda al raffreddamento artificiale mediante macchine frigorifere o liquidi a bassa temperatura di ebollizione entro opportune intercapedini e condotti a contatto con le superficie esterne dei velivoli.<br />
 
Da questi cenni si intravede quale somma di ricerche e di lavoro richiede e richiederà il volo supersonico già per la resistenza alle alte temperature del fisico umano e dei materiali.<br />
Questi sarebbero quindi, grosso modo, i limiti spinti di velocità nel volo di regime prolungato per i fatti di temperatura nei riguardi della resistenza dei materiali ove non si provveda al raffreddamento artificiale mediante macchine frigorifere o liquidi a bassa temperatura di ebollizione entro opportune intercapedini e condotti a contatto con le superficie esterne dei velivoli.<br />
 
Da questi cenni si intravede quale somma di ricerche e di lavoro richiede e richiederà il volo supersonico già per la resistenza alle alte temperature del fisico umano e dei materiali.<br />
 
Naturalmente le considerazioni precedenti si intendono valide per voli sufficientemente lunghi in modo da portare a regime la temperatura delle masse metalliche del velivolo.
 
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