Propulsione aerea/Capitolo VI°: differenze tra le versioni
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::::::<math>\ V_e=\sqrt[2]{\frac{2}{\rho}(p_1-p_0}</math>.
Indicando con '''G''' la portata (peso affluente nell'unità di tempo) si ha per ogni sezione del condotto di area '''Ω''', '''G=g ρ Ω V=cost.'''
Ne viene
::::::<math>\ \Omega=\frac{G}{g\ \rho\ V}</math>
cioè la sezione del condotto diminuisce costantemente al crescere di '''V''' poiché '''ρ''' per i liquidi non varia.
L'ugello di efflusso per i liquidi è quindi convergente.
Supponiamo ora di avere un gas alla pressione '''p<sub>1</sub>''' e temperatura '''T<sub>1</sub>''' racchiuso nentro un recipiente e lo si faccia effluire con modalità analoghe alle precedenti. L'efflusso sia adiabatico ed isoentropico; trascuriamo le eventuali variazioni di altezza; poiché non vi è scambio di lavoro con l' esterno la relazione di energia (34) in termini finiti fornisce per la sezione generica a temperatura '''T'''
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::::::<math>\ \Omega=\frac{G}{g\ \rho\ V}</math>
L'andamento della sezione dipende da '''ρ''' e '''V''' entrambi variabili in senso contrario poiché al crescere di '''V''' il gas, raffreddandosi, diminuisce di densità; nulla quindi può dirsi a priori sull'andamento della sezione del condotto.
La quantità:
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===Condizioni critiche===
Dalla precedente relazione si vede che per '''x=1''' (cioè '''T=T<sub>1</sub>''' inizio del condotto) '''Φ=0''' ( cioè il condotto ha sezione molto grande, teoricamente '''∞'''); poiché con l'espansione '''T''' diminuisce, '''x''' diviene minore dell'unità e tenderebbe a zero quando la '''T''' tende allo zero assoluto (ammesso che il gas non passi allo stato liquido); per '''x=0''' si ha quindi nuovamente '''Φ=0''' e szione del condotto '''→0'''.
Traquesti estremi deve esserci quindi una sezione di area minima cui corrisponde '''Φ''' massimo.
Il massimo del flusso corrisponde al massimo dell'espressione sotto il radicale; derivando ed uguagliando a zero la
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<math>\ (35)\qquad V_{cr}=\sqrt[2]{\frac{k-1}{k+1}2\ g\ J\ C_p\ T_1}</math>.
La sezione di area minima è chiamata '''sezione critica'''; i rispoettivi valori di temperatura, densità, pressione e velocità sono detti pure critici.
Risulta quindi riepilogando:
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===Ugello del Laval-velocità supersoniche===
Dalle considerazioni svolte si conclude che se la pressione all'esterno è superiore a quella critica, avanti definita, l'ugello è convergente.
Se inferiore l'ugello è prima vonvergente, sino alla sezione critica e poi divergente; questo ugello è detto anche di '''De Laval''' in onore del fisico che per primo chiarì questi aspetti dell'efflusso. Se
::::::<math>\ p_0=p_{cr}</math>
l'ugello si arresta alla sezione critica (fig.22a,b,c).
Vi è dunque nell'efflusso un comportamento diverso tra liquidi e gas proprio a causa della compressibilità.
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<math>\ (37)\qquad M_{loc}=\frac{V}{V_s}=(\frac{2}{k-1})^{\frac{1}{2}}(\frac{1-x}{x})^{\frac{1}{2}}</math>
per '''x=1''' (inizio del condotto), '''M<sub>loc</sub>=0''' come era da attendersi poiché il gas è fermo.
Per '''x=0''' (velocità di efflusso limite, '''M<sub>loc</sub>=∞; per
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(condizioni critiche), '''M<sub>loc</sub>=1'''; cioè nella sezione critica la velocità della corrente coincide con la velocità locale del suono; segue inoltre che le velocità a monte della sezione critica sono subsoniche, a valle supersoniche. Risultato importantissimo della gas-dinamica per le applicazioni alle turbine a vapore ed a gas, agli eiettori, alle gallerie aerodinamiche
, ai reattori ed autoreattori, agli ugelli dei razzi e dei missili ecc.
Per maggiore chiarezza in fig,23 sono riportati gli andamenti di '''V<sub>0</sub>''', '''V<sub>s</sub>''', '''M<sub>loc</sub>''', in corrispondenza delle varie sezioni di un ugello di '''De Laval'''.
La velocità del suono nelle condizioni iniziali è:
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[[file:immagini.png|right]]
Poiché, come dimostrato, nella parte divergente dell'ugello le velocità sono supersoniche, ne segue che un disturbo qualsiasi non può rimontare la corrente e ripercuotersi avanti all'ostaclo stesso: il suono rimane entro il relativo cono locale di '''Mach''' a norma delle considerazioni svolte al Cap.I°.
Riprendiamo la (37) e sostituiamo per '''x''' il valore
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===Autocompressione isentropica===
Nelle considerazioni precedenti si è fatto riferimento a processi di espansione (corrente accelerata); ma quanto detto in sostanza per l'espansione vale per la compressione spontanea che si ottiene trasformando l'energia cinetica in entalpia (corrente ritardata); così (sempre supponendo il processo isoentropico) per trasformare tut\ta l'energia cinetica in pressione necessita un condotto convergente per velocità subsoniche, prima convergente e poi divergente per velocità supersoniche.
Se la corrente ha il '''n.di Mach M''', dalla (38) si ottiene il rapporto di compressione:
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[[File:Fig.24.png|300px]]
Una osservazione si impone; tutta la trattazione e tutte le formule non dicono quale forma debbono avere le sezioni e con quale legge debbono succedersi; in altre parole il condotto può essere allungato od accorciato a piacere e le sezioni comunque variare di forma a parità di area.
In realtà perché il fenomeno non presenti anomalie si richiede che il tratto divergente vari di sezione gradualmente in modo da evitare distacchi di corrente dalle pareti e che le sezioni varino di forma anche esse gradualmente; ordinariamente le sezioni nelle applicazioni concrete hanno forma rettangolare o circolare.
L'angolo di apertura del tratto divergente è sui '''12°÷15°'''; angoli più piccoli, esigendo condotti più lunghi, darebbero luogo a maggiori perdite per attrito.
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===Onde d'urto===
Nelle considerazioni svolte si è ammesso che i parametri fisici '''p, ρ, T, V''' varino con continuità e gradualmente entro tutto il campo interessato. Teoria ed esperienza mostrano però che in determinate circostanze i parametri fisici possono variare bruscamente.
I moti subsonici sono caratterizzati proprio dal fatto che '''p, ρ, T, V,''' variano gradualmente entro tutto il campo ed alla superficie dei corpi interessati; questa gradualità non si verifica per deflussi transonici e supersonici ed in certe zone del gas si constatano incrementi rilevanti localizzati dei parametri fisici inevitabili per ristabilire le condizioni di continuità; questi incrementi possono essere concepiti, al limite, come vere e proprie discontinuità; pressioni, densità, temperatura e velocità variano quasi a colpo entro spessori molto sottili del gas; queste discontinuità vanno sotto il nome generico di '''[[w:onda d'urto|onde d'urto]]''' (shoock waves degli anglosassoni). La forma e la distribuzione di queste onde nel caso più generale è funzione dei parametri fisici della corrente '''k''' ed '''M''', della forma e dello orientamento rispetto alla corrente dell'ostacolo che interferisce con la corrente.
La '''gas-dinamica''' permette di ricavare la distribuzione di queste onde e dimostra che non possono esistere discontinuità di espansione ma soltanto di compressione ; attraverso un'onda d'urto la velocità subisce una brusca diminuzione mentre la pressione , la densità e la temperatura subiscono un brusco aumento.<br />▼
Il fenomeno dell'urto è adiabatico ma non isoentropico; la entro pia del gas aumenta attraverso la discontinuità.<br />▼
▲La '''gas-dinamica''' permette di ricavare la distribuzione di queste onde e dimostra che non possono esistere discontinuità di espansione ma soltanto di compressione ; attraverso un'onda d'urto la velocità subisce una brusca diminuzione mentre la pressione , la densità e la temperatura subiscono un brusco aumento.
Per la determinazione dei parametri fisici necessitano quattro relazioni. Esse sono in generale: l'equazione della continuità, l'equazione della quantità di moto, l'equazione di stato e l'equazione della conservazione dell'energia. <br />▼
L'onda d'urto a seconda delle modalità del deflusso può essere obliqua o normale alla direzione della velocità della corrente in arrivo nel posto considerato.<br />▼
▲Il fenomeno dell'urto è adiabatico ma non isoentropico; la entro pia del gas aumenta attraverso la discontinuità.
▲Per la determinazione dei parametri fisici necessitano quattro relazioni. Esse sono in generale: l'equazione della continuità, l'equazione della quantità di moto, l'equazione di stato e l'equazione della conservazione dell'energia.
▲L'onda d'urto a seconda delle modalità del deflusso può essere obliqua o normale alla direzione della velocità della corrente in arrivo nel posto considerato.
La gas-dinamica fornisce i metodi per lo studio generale delle onde. E' di particolare interesse l'onda d'urto normale alla corrente in arrivo.
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<math>\ (4)\qquad \frac{V_0^2}{2\ g}+C_p\ T_0=\frac{V_1^2}{2\ g}+C_p\ T_1</math>
La '''(1)''' si afferisce alla '''continuità''', la (2) alla '''quantità di moto''', la (3) alla '''equazione di stato''' e la (4) alla '''energia'''.
Risolvendo il sistema precedente è facile, a parte la soluzione banale
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::::::<math>\ M_1^2=\frac{5+M^2}{7\ M^2-1}</math>
Queste considerazioni sono v alide ovviamente per '''M>1''' cioè per corrente in arrivo supersonica; infatti per '''M<1''' il numero di '''Mach''' diviene immaginario e questo conferma che l'urto è possibile per velocità supersoniche solamente.
E' facile vedere inoltre dalle precedenti che si ha sempre '''M<1''', cioè per onda d'urto normale la corrente di velocità '''V<sub>1</sub>''' è subsonica mentre quella a velocità '''V<sub>0</sub>''' è supersonica.
Il punto figurativo '''1''' delle condizioni del gas dopo l'urto è sulla linea '''p<sub>1-ur</sub>''' costante (fig.25); esso ha temperatura ed entropia più grandi del punto '''0'''' corrispondente allo stesso rapporto di compressione isoentropica. I valori '''C<sub>p</sub>(T<sub>0'</sub>-T<sub>0</sub>)''' e '''C<sub>p</sub>(T<sub>1-ur</sub>-T<sub>0</sub>)''' rappresentano rispettivamente il lavoro di compressione isoentropico adiabatico per urto; il rapporto tra questi lavori è il cosi detto rendimento adiabatico '''η<sub>ad</sub>'''.
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::::::<math>\ S_0\qquad e \qquad C_p\ T_0'=i_0'</math>
coordinate del punto '''0''''.
Dalle precedenti si ottiene facilmente l'aumento di entropia ed il rendimento adiabatico per urto normale:
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===Autocompressione con urto===
Con le formule precedenti si possono calcolare le condizioni subito dopo l'imbocco di una presa dinamica o di un diffusore in corrente supersonica (fig.26); l'onda d'urto normale alla bocca è piana, conica per il resto.
Poiché la corrente '''V<sub>1</sub>''' è subsonica è possibile con un condotto divergente trasformare l'energia cinetica
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::::::<math>\ (\frac{T_1}{T_0})_{is}</math>
dell'ipotesi isoentropica; questo fatto era da aspettarsi per la conservazione dell'energia; infatti l'energia cinetica non può trasformarsi altro che in entalpia e a parità di temperatura iniziale deve essere quella finale necessariamente uguale sia per il caso entropico che per il caso con urto.
Nella figura 27a,b, sono riportati alcuni valori delle espressioni avanti ricavate.
::::::::::::figura 27a,b
Le minorazioni del rapporto di compressione possono ottenersi agli alti numeri di '''Mach''' con bocche ad onde d'urto oblique.
Gli aumenti di entropia con onda d'urto normale sono i più alti possibili. Su qiesto aspetto si ritornerà parlando degli autoreattori supersonici.
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<math>\ (42)\qquad \frac{T_1}{T_0}=1+\frac{k-1}{2}\ M^2</math>
con '''T<sub>1</sub>''' temperatura di arresto e '''T<sub>0</sub>''' della corrente di '''Nr.Mach M'''.
La temperatura '''T<sub>1</sub>''' si presenta quindi sui bordi di attacco delle ali, sulla prua delle fusoliere, entro le prese dinamiche dei condotti dei reattori ed autoreattori, ecc.
Per l'aria
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::::::<math>\ \frac{T_1}{T_0}</math>
comincia a crescere rapidamente.
Per:
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::::::<math>\ T_0=273\ K (0\ C)\quad T_1=327\ K</math>,
l'aumento è di circa '''54°C''', nella stratosfera '''T<sub>0</sub>=228°K (-55°C)''', quindi, '''T<sub>1</sub>=273°K''', corrispondente quasi a 0°C.
Per '''M=2''' a bassa quota si ha l'incremento del '''80%''', pari circa a '''218°C''' e nella stratosfera l'aumento di '''182°C'''.
Sul grafico di fig.28 è riportato l'andamento di
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:::::::::::::fiura 28
Al crescere della velocità l'aumento della temperatura comincia ad essere incompatibile con le possibilità del fisico umano innanzi tutto; supposto risolto il problema di proteggere l'equipaggio con opportuna refrigerazione, rimane il problema della resistenza dei materiali alle sollecitazioni meccaniche ed alle ossidazioni a caldo.
A 300 °C la resistenza del duralluminio è scesa circa a metà della resistenza a freddo; a bassa quota quindi
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::::::<math>\ \frac{T_1}{T_0}=1,93</math>
a questi valori corrispondono i numeri di Mach pari a circa '''2,35''' e '''2,15''', cioè '''2800 k/ora''' e '''22300 k/ora''' circa: però l'ossidazione a caldo limita ancor più questi valori.
Per gli acciai legati inossidabili delle migliori qualità e per le leghe speciali a circa '''800 °C''' (colore rosso chiaro) la resistenza tende a svanire. A queste temperature corrispondono '''M=4,4''' a bassa quota ed '''M=4,3''' nella stratosfera, cioè circa '''5400 k/ora''' e '''4400 k/ora'''; in alte parole alle alte velocità il velivolo od il missile tendono a comportarsi come meteore.
Questi sarebbero quindi, grosso modo, i limiti spinti di velocità nel volo di regime prolungato per i fatti di temperatura nei riguardi della resistenza dei materiali ove non si provveda al raffreddamento artificiale mediante macchine frigorifere o liquidi a bassa temperatura di ebollizione entro opportune intercapedini e condotti a contatto con le superficie esterne dei velivoli.<br />▼
Da questi cenni si intravede quale somma di ricerche e di lavoro richiede e richiederà il volo supersonico già per la resistenza alle alte temperature del fisico umano e dei materiali.<br />▼
▲Questi sarebbero quindi, grosso modo, i limiti spinti di velocità nel volo di regime prolungato per i fatti di temperatura nei riguardi della resistenza dei materiali ove non si provveda al raffreddamento artificiale mediante macchine frigorifere o liquidi a bassa temperatura di ebollizione entro opportune intercapedini e condotti a contatto con le superficie esterne dei velivoli.
▲Da questi cenni si intravede quale somma di ricerche e di lavoro richiede e richiederà il volo supersonico già per la resistenza alle alte temperature del fisico umano e dei materiali.
Naturalmente le considerazioni precedenti si intendono valide per voli sufficientemente lunghi in modo da portare a regime la temperatura delle masse metalliche del velivolo.
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