Differenze tra le versioni di "Matematica per le superiori/Introduzione ai numeri reali"

sistemo dopo unione delle crono
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(sistemo dopo unione delle crono)
 
{{Matematica per le superiori}}
 
== La leggenda di Pitagora e la scoperta di un numero inquietante ==
 
 
Le radici quadrate dei numeri che non sono quadrati perfetti e che non sono il quadrato di alcuna frazione sono numeri decimali con infinite cifre decimali non periodiche; essi perciò possono essere scritti solo in maniera approssimata. Questi numeri sono detti ''numeri irrazionali'' e insieme ad altri, che conoscerete in seguito, costituiscono l'insieme <math>\mathbb{J}</math> dei numeri irrazionali.
 
== Le condizioni di esistenza ==
Le condizioni di esistenza sono quell'insieme dei valori delle variabili contenute nel radicale per i quali esso esiste. Per verificare le condizioni di esistenza bisogna prima guardare se l'indice del radicale è pari o dispari:
* se la radice ha indice pari, il radicando deve essere maggiore o uguale a zero.
* se la radice ha indice dispari il radicando può essere un numero reale qualsiasi.
 
Per esempio sono calcolabili i seguenti radicali:
: <math> + \sqrt{9} = 3;\quad - \sqrt{25} = -5;\quad - \sqrt[3]{8} = -2;\quad - \sqrt[4]{16} = -2;\quad - \sqrt[3]{27} = -3 ;\quad \sqrt{2}=1,4142\dots</math>
Non esistono invece numeri reali che risolvano queste espressioni:
: <math> \sqrt[ ]{-9};\quad \sqrt[ ]{-25};\quad \sqrt[6]{-8};\quad \sqrt[4]{-16};\quad \sqrt[8]{-27}</math>
 
Essi infatti appartengono all'insieme dei [[numero immaginario|numeri immaginari]], i quali, sommati ai [[numeri reali]], danno come risultato un numero appartenente all'insieme dei [[numero complesso|numeri complessi]], indicato con '''C''' o <math>\mathbb{C}</math>.
 
== Proprietà fondamentali ==
Esistono delle proprietà fondamentali delle radici che vengono elencate di seguito:
* <math>\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[m\cdot n]{a}</math>
* <math>(\sqrt[n]{a})^m=\sqrt[n]{a^m}</math> purché n dispari infatti se a<0 il primo non esiste mentre il secondo se m=numero pari esiste
* <math>a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}</math>
* <math>a^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{\sqrt[n]{a^m}}</math>
* <math>\sqrt{a\pm\sqrt{b}}=\sqrt{ \frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}\pm\sqrt{ \frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}} </math> ''(Radicali quadratici doppi)''
 
dove <math>a</math> e <math>b</math> sono numeri positivi. Nell'ultima uguaglianza, è anche richiesto che <math> a^2>b </math>.
 
Per ogni numero complesso <math>a</math> diverso da 0, ci sono <math>n</math> diversi numeri complessi <math>b</math> tali che <math>b^n=a</math>, quindi il simbolo <math>\sqrt[n]{a}</math> non può essere usato univocamente. Se <math>a=1</math>, parliamo di radici n-esime dell'unità.
 
=== Casi particolari ===
La radice <math>n</math>-esima di 0 è uguale a 0, perché 0, elevato ad <math>n</math>, è uguale a 0; nel caso in cui però <math>n</math> sia zero la radice non ha soluzioni reali, in quanto ogni numero elevato a zero è uguale ad uno, inoltre zero elevato a zero non ha significato.
 
== Operazioni con le radici quadrate ==
 
Possiamo concludere questa breve rassegna sui numeri irrazionali osservando che la retta geometrica sembra avere "più punti" di quanti siano i numeri razionali; gli infiniti punti lasciati scoperti dai razionali sono immagine di numeri irrazionali. L'insieme che si ottiene dall'unione dell'insieme <math>\mathbb{Q}</math> con l'insieme <math>\mathbb{J}</math> degli irrazionali è l'insieme <math>\mathbb{R}</math> dei numeri reali. La retta geometrica orientata è l'immagine di tale insieme: ogni suo punto è immagine o di un numero razionale o di un numero irrazionale.
 
===Radicale doppio===
 
I radicali doppi compaiono nelle formule risolutive delle equazioni di terzo e quarto grado, anche se furono studiati già da Euclide nel X Libro dei suoi Elementi.
 
Talvolta è possibile trasformare un radicale doppio in una [[addizione|somma]] di due radicali. Si consideri per esempio la prima forma: ci si propone di trovare 2 numeri ''x'' e ''y'' tali che:
 
:<math>\sqrt{a + \sqrt{b}} = \sqrt{x} + \sqrt{y}</math>
 
Elevando al quadrato entrambi i membri si ottiene:
 
:<math>a + \sqrt{b} = x + y + \sqrt{4xy}</math>
 
Quest'uguaglianza è sicuramente verificata se si pone:
 
:<math>
\left\{
\begin{matrix}
x + y = a \\
4xy = b
\end{matrix}
\right.
</math>
 
cioè:
 
:<math>
\left\{
\begin{matrix}
x + y = a \\
xy = \frac{b}{4}
\end{matrix}
\right.
</math>
 
Le soluzioni di questo [[sistema non lineare|sistema]] simmetrico sono le radici dell'[[equazione quadratica]]
 
:<math>t^2 - at + \frac{b}{4} = 0 </math>
 
Risolvendo quest'equazione si ottiene
 
:<math>t = \frac{a \pm \sqrt{a^2 - b}}{2}</math>
 
e quindi:
 
:<math>x = \frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2} \, , \, y = \frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}</math>
 
Si ottiene così l'[[identità (matematica)|identità]] cercata:
 
:<math>\sqrt{a + \sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}} + \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}}</math>
 
Analogamente si può ottenere:
 
:<math>\sqrt{a - \sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}} - \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}}</math>
 
D'altronde è facile verificare che queste identità sono realmente verificate (a patto che ''a'', ''b'' ed ''a''<sup>2</sup> - ''b'' siano positivi).
 
Si noti come il secondo membro sia in generale una somma di radicali doppi, perciò l'identità è effettivamente utile solo se ''a''<sup>2</sup> - ''b'' è un [[quadrato perfetto]]. Ad esempio:
 
:<math>\sqrt{3 - \sqrt{5}} = \sqrt{\frac{3 + \sqrt{3^2 - 5}}{2}} - \sqrt{\frac{3 - \sqrt{3^2 - 5}}{2}}</math>
 
e, semplificando e [[Razionalizzazione (matematica)|razionalizzando]], si ottiene:
 
:<math>\sqrt{3 - \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{10} - \sqrt{2}}{2}</math>
 
Invece il radicale doppio <math>\sqrt{3 + \sqrt{2}}</math> non si può semplificare, dal momento che 3<sup>2</sup> - 2 = 7 non è un quadrato perfetto.
 
Esempio "quadrato perfetto rationale" (notio: 5.5<sup>2</sup> - 10 = 4.5<sup>2</sup> et 5.5 + 4.5 = 10 et 5.5 - 4.5 = 1):
:<math>\sqrt{5.5 - \sqrt{2}\sqrt{5} } = \sqrt{\frac{11}{2}-\sqrt{10}}= \sqrt{\frac{11-2\sqrt{10}}{2}}=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{10}+1}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{(\sqrt{10}-1)^2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}\sqrt{5}-1}{\sqrt{2}}=\sqrt{5}-\frac{\sqrt{2}}{2} = (\frac{\sqrt{20}-\sqrt{2}}{2})</math>
 
== Note ==
<references />
 
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