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Elettrotecnica/Circuiti con resistenza, capacità, induttanza percorsi da correnti alternate: differenze tra le versioni

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{{elettrotecnica}}
=== CircuitiCircuito con resistenza, capacità,e induttanza, percorsi da correnti sinusoidali ===
 
==== Circuito con resistenza e induttanza ====
Sia dato un circuito del tipo in figura, costituito, cioè, dall'aggregato in serie di una resistenza ''R'' e di una induttanza ''L'', al quale sia applicata una ''f.e.m.'' ''e'' comunque variabile nel tempo.
 
[[File:Diagram of a circuit with resistor and inductance.png]]
 
Sappiamo che, con riferimento ai valori istantanei, la ''f.e.m.'' risultante della ''f.e.m.'' effettivamente applicata e della ''f.e.m.'' di autoinduzione che si desta nella induttanza del circuito, è:<br />
 
{{equazione|id=1|eq=<math>\ e' = e-L{di \over dt }</math>}}<br />
{{equazione|id=1|eq=<math>\ e' = e-L{di \over dt }</math>}}
Il segno meno deriva dal fatto, ormai noto, che, per la legge di ''Lenz'' la ''f.e.m.'' di autoinduzione deve essere tale da opporsi alla causa che l'ha generata, ossia alla ''f.e.m.'' applicata al circuito.<br />
 
Poiché d'altro canto è:<br />
Il segno meno deriva dal fatto, ormai noto, che, per la legge di ''Lenz'' la ''f.e.m.'' di autoinduzione deve essere tale da opporsi alla causa che l'ha generata, ossia alla ''f.e.m.'' applicata al circuito.
{{equazione|id=2|eq=<math>\ e' = R\ i</math>}}<br />
 
si avrà che:<br />
Poiché d'altro canto è:
{{equazione|id=3|eq=<math>\ e = R\ i+L{di \over dt}</math>}}<br />
 
o anche:<br />
{{equazione|id=42|eq=<math>\ e-' = R\ i-L{di \over dt} = 0</math>}}<br />
 
si avrà che:
 
{{equazione|id=3|eq=<math>\ e = R\ i+L{di \over dt}</math>}}
 
o anche:
 
{{equazione|id=4|eq=<math>\ e-R\ i-L{di \over dt} = 0</math>}}
 
la equazione caratteristica del circuito.
 
====Circuito con resistenza, induttanza e capacità====
Si consideri ora un circuito costituito da una resistenza ''R'', una induttanza ''L'', e una capacità ''C'', connesse in serie (vedi figura), sottoposto anch'esso a una ''f.e.m.'' variabile nel tempo con una legge che supporremo alternativa.
 
[[File:Circuit R C L in AC.png]]
 
In un circuito del genere l'interruzione della continuità metallica costituita dal condensatore non comporta, ovviamente, l'interruzione della continuità elettrica, il condensatore, infatti, si caricherà e si scaricherà successivamente in sensi alterni a seconda del senso della ''f.e.m.'' impressa.<br />
 
Il campo elettrico variabile che si ha in conseguenza nell'interno del condensatore equivale, si è visto, a una corrente e prende il nome di corrente di spostamento.<br />
Il campo elettrico variabile che si ha in conseguenza nell'interno del condensatore equivale, si è visto, a una corrente e prende il nome di corrente di spostamento.
Sia ''q'' la quantità di elettricità presente in un determinato istante in una delle armature del condensatore.<br />
 
Se indichiamo con ''v'' la ''d.d.p.'' esistente in quell'istante tra le armature del condensatore è:<br />
Sia ''q'' la quantità di elettricità presente in un determinato istante in una delle armature del condensatore.
{{equazione|id=|eq=<math>\ q = C\ v</math>}}<br />
 
essendo ''C'' la capacità del condensatore.<br />
Se indichiamo con ''v'' la ''d.d.p.'' esistente in quell'istante tra le armature del condensatore è:
Se a questo punto ''v'' varia di una quantità infinitesima ''dv'', anche ''q'' varia di una quantità ''dq'' data da<br />
 
{{equazione|id=|eq=<math>\ dq = C\ dv</math>}}<br />
{{equazione|id=|eq=<math>\ q = C\ v</math>}}
Tutto allora avviene come se nel dielettrico passasse, in corrispondenza della variazione ''dv'' della tensione, una corrente<br />
 
{{equazione|id=|eq=<math>\ i = {dq \over dt} = C{dv \over dt}</math>}}<br />
essendo ''C'' la capacità del condensatore.
D'altro canto si è visto or ora che è<br />
 
{{equazione|id=8|eq=<math>\ v' = R\ i+L\ {di \over dt}</math>}}<br />
Se a questo punto ''v'' varia di una quantità infinitesima ''dv'', anche ''q'' varia di una quantità ''dq'' data da
la ''d.d.p.'' che si localizza ai capi del circuito resistenza-induttanza e poiché deve in ogni caso essere<br />
 
{{equazione|id=9|eq=<math>\ v + v' = e</math>}}<br />
{{equazione|id=|eq=<math>\ dq = C\ dv</math>}}
sarà anche:<br />
 
{{equazione|id=10|eq=<math>\ R\ i+L\ {di \over dt}+ {q \over C} = e</math>}}<br />
Tutto allora avviene come se nel dielettrico passasse, in corrispondenza della variazione ''dv'' della tensione, una corrente
e, sostituendo nella precedente espressione,<br />
 
{{equazione|id=11|eq=<math>\ q = \int{}^{}i\ dt</math>}}<br />
{{equazione|id=|eq=<math>\ i = {dq \over dt} = C{dv \over dt}</math>}}
si ha infine, quale equazione caratteristica del circuito in esame:<br />
 
{{equazione|id=12|eq=<math>\ R\ i+ L{di \over dt}+{1 \over C}\int{}^{}i\ dt = e</math>}}<br />
D'altro canto si è visto or ora che è
Si supponga ora che la ''f.e.m.'' ''e'', che sinora abbiamo indicato genericamente come variabile nel tempo, vari in effetti con legge sinusoidale.<br />
 
È allora:<br />
{{equazione|id=138|eq=<math>\ ev' = E_m R\ i+L\sin {di \omega\over tdt}</math>}}<br />
 
e pertanto:<br />
la ''d.d.p.'' che si localizza ai capi del circuito resistenza-induttanza e poiché deve in ogni caso essere
{{equazione|id=14|eq=<math>\ R i+L{di \over dt}+{1 \over C}\int_{}^{}i dt = E_m\sin \omega\ t </math>}}<br />
 
è la equazione risolutiva del più generale circuito ''serie'' che possa essere sottoposto a una ''f.e.m.'' sinusoidale.<br />
{{equazione|id=9|eq=<math>\ v + v' = e</math>}}
È noto che la soluzione di una equazione del genere di quella ora ricavata risulta dalla somma di due termini ''i<sub>1</sub>'' e ''i<sub>2</sub>'' di cui il primo rappresenta la soluzione generale della equazione ausiliaria:<br />
 
{{equazione|id=15|eq=<math>\ Ri + L{di \over dt}+{1 \over C}\int_{}^{}i dt = 0</math>}}<br />
sarà anche:
e il secondo una soluzione particolare della equazione completa.<br />
 
Sarebbe possibile rendersi conto che il termine ''i<sub>1</sub>'' sta a rappresentare il regime transitorio che si stabilisce all'atto della chiusura del circuito.<br />
{{equazione|id=10|eq=<math>\ R\ i+L\ {di \over dt}+ {q \over C} = e</math>}}
Esso si smorza nel tempo, divenendo in breve trascurabile rispetto al terrmine ''i<sub>2</sub>'' che, solo, rappresenta la soluzione cercata, con riferimento al regime permanente.<br />
 
La corrente ''i'' che, in conseguenza dell'applicazione della ''f.e.m.'' ''e'', circola nel circuito è allora della forma:<br />
e, sostituendo nella precedente espressione,
 
{{equazione|id=11|eq=<math>\ q = \int{}^{}i\ dt</math>}}
 
si ha infine, quale equazione caratteristica del circuito in esame:
 
{{equazione|id=12|eq=<math>\ R\ i+ L{di \over dt}+{1 \over C}\int{}^{}i\ dt = e</math>}}
 
Si supponga ora che la ''f.e.m.'' ''e'', che sinora abbiamo indicato genericamente come variabile nel tempo, vari in effetti con legge sinusoidale.
 
È allora:
 
{{equazione|id=13|eq=<math>\ e = E_m \ \sin \omega\ t</math>}}
 
e pertanto:
 
{{equazione|id=14|eq=<math>\ R i+L{di \over dt}+{1 \over C}\int_{}^{}i dt = E_m\sin \omega\ t </math>}}
 
è la equazione risolutiva del più generale circuito ''serie'' che possa essere sottoposto a una ''f.e.m.'' sinusoidale.
 
È noto che la soluzione di una equazione del genere di quella ora ricavata risulta dalla somma di due termini ''i<sub>1</sub>'' e ''i<sub>2</sub>'' di cui il primo rappresenta la soluzione generale della equazione ausiliaria:
 
{{equazione|id=15|eq=<math>\ Ri + L{di \over dt}+{1 \over C}\int_{}^{}i dt = 0</math>}}
 
e il secondo una soluzione particolare della equazione completa.
 
Sarebbe possibile rendersi conto che il termine ''i<sub>1</sub>'' sta a rappresentare il regime transitorio che si stabilisce all'atto della chiusura del circuito.
 
Esso si smorza nel tempo, divenendo in breve trascurabile rispetto al termine ''i<sub>2</sub>'' che, solo, rappresenta la soluzione cercata, con riferimento al regime permanente.
 
La corrente ''i'' che, in conseguenza dell'applicazione della ''f.e.m.'' ''e'', circola nel circuito è allora della forma:
 
{{equazione|id=16|eq=<math>\ i=I_m\sin (\omega t-\phi)</math>}}
di cui è necessario definire ampiezza e fase.<br />
 
Risulta:<br />
Risulta:
{{equazione|id=17|eq=<math>\ {di \over dt}=\omega I_m\cos(\omega t-\phi)</math>}}<br />
 
{{equazione|id=18|eq=<math>\ i\ dt=-{I_m \over \omega}\cos(\omega t-\phi)</math>}}<br />
{{equazione|id=17|eq=<math>\ {di \over dt}=\omega I_m\cos(\omega t-\phi)</math>}}
Queste espressioni possono essere sostituite nella equazione generale; questa deve poi subire alcune manipolazioni di natura analitica (sulle quali ci è necessario soprassedere) per pervenire , infine, alla conclusione che è:<br />
 
{{equazione|id=19|eq=<math>\ tg(\phi)={\omega L-{1 \over \omega C} \over R}</math>}}<br />
{{equazione|id=2018|eq=<math>\ I_mi\ dt=-{E_mI_m \over \sqrt{R^2+omega}\cos(\omega Lt-{1 \over \omega C}phi)^2}}</math>}}<br />
 
O anche:<br />
Queste espressioni possono essere sostituite nella equazione generale; questa deve poi subire alcune manipolazioni di natura analitica (sulle quali ci è necessario soprassedere) per pervenire , infine, alla conclusione che è:
{{equazione|id=21|eq=<math>\ I_{eff}={E_{eff} \over \sqrt{R^2+(\omega L-{1 \over \omega C})^2}}</math>}}<br />
 
Alla quantità<br />
{{equazione|id=2219|eq=<math>\ tg(\phi)={\omega L-{1 \over \omega C} \over R}</math>}}<br />
 
si dà il nome di ''reattanza'' del circuito e la si indica con la lettera ''X''.<br />
{{equazione|id=20|eq=<math>\ I_m={E_m \over \sqrt{R^2+(\omega L-{1 \over \omega C})^2}}</math>}}
Con le posizioni accennate, i risultati dianzi conseguiti sogliono esprimersi nella forma seguente:<br />
 
{{equazione|id=23|eq=<math>\ I=E</math>}}<br />
O anche:
{{equazione|id=24|eq=<math>\ tg\phi={X \over R}</math>}}<br />
 
Quello cui abbiamo accennato a grandi linee è, ricordiamo, il metodo trigonometrico per il calcolo delle grandezze sinusoidali.<br />
{{equazione|id=21|eq=<math>\ I_{eff}={E_{eff} \over \sqrt{R^2+(\omega L-{1 \over \omega C})^2}}</math>}}
Possiamo eseguire il calcolo della corrente che attraversa un circuito a costanti concentrate sottoposto a una ''f.e.m.'' sinusoidale con uno qualsiasi degli altri metodi di calcolo a suo tempo citati: giungeremmo in ogni caso a una espressione del tipo:<br />
 
{{equazione|id=25|eq=<math>\ \vec I={\vec E \over \vec Z}</math>}}<br />
Alla quantità
Dove col segno ''' →''' abbiamo voluto contrassegnare le grandezze vettoriali.<br />
 
Assume perciò carattere di generalità l'affermazione che in un qualsiasi circuito a costanti concentrate cui sia applicata una ''f.e.m.'' sinusoidale di valore efficace ''E'', circola una corrente, anch'essa sinusoidale, di valore efficace:<br />
{{equazione|id=2622|eq=<math>\ I =\omega L-{E1 \over Z\omega C}</math>}}<br />
 
e la cui differenza di fase col vettore tensione è definita dalla relazione:<br />
si dà il nome di ''reattanza'' del circuito e la si indica con la lettera ''X''.
{{equazione|id=27|eq=<math>\ tg\ \phi = {X \over R}</math>}}<br />
 
Lo sfasamento della corrente rispetto alla tensione è da intendersi in ritardo se nel calcolo della reattanza del circuito prevale la reattanza di autoinduzione, in anticipo nel caso in cui prevale la reattanza di capacità.<br />
Con le posizioni accennate, i risultati dianzi conseguiti sogliono esprimersi nella forma seguente:
In ogni caso, poiché è:<br />
 
{{equazione|id={}|eq=<math>\ X = \omega L-{1 \over \omega C}</math>}}<br />
{{equazione|id=23|eq=<math>\ I=E</math>}}
e<br />
 
{{equazione|id={}|eq=<math>\ Z = \sqrt {R^2-X^2}</math>}}<br />
{{equazione|id=24|eq=<math>\ tg\phi={X \over R}</math>}}
si nota subito che la corrente, in un circuito che già contenga resistenza e induttanza, cresce quando si inserisce, in serie con gli anzidetti elementi, una capacità.<br />
 
In particolare esistono un valore dell'induttanza e un valore della capacità per i quali, per una determinata frequenza, si perviene all'annullamento della reattanza.<br />
Quello cui abbiamo accennato a grandi linee è, ricordiamo, il metodo trigonometrico per il calcolo delle grandezze sinusoidali.
In queste condizioni il circuito si comporta come puramente resistivo, pur non essendolo, e la corrente assume, in relazione alla ''f.e.m.'' applicata, il suo massimo valore, non intervenendo allora, che la sola resistenza a limitarla.<br />
 
Questa particolare e importante condizione di funzionamento di un circuito prende il nome di condizione di risonanza.<br />
Possiamo eseguire il calcolo della corrente che attraversa un circuito a costanti concentrate sottoposto a una ''f.e.m.'' sinusoidale con uno qualsiasi degli altri metodi di calcolo a suo tempo citati: giungeremmo in ogni caso a una espressione del tipo:
Tale condizione è analiticamente esprimibile e si dirà che un circuito contenente induttanza, capacità e resistenza si trova in condizioni di risonanza quando per esso vale la relazione:<br />
 
{{equazione|id={}|eq=<math>\ \omega L - {1 \over \omega C} = 0</math>}}<br />
{{equazione|id=25|eq=<math>\ \vec I={\vec E \over \vec Z}</math>}}
ed è manifesto, per la presenza della pulsazione '''ω''', che, fissati i valori di ''L'' e di ''C'' la condizione di risonanza sussiste solo per un ben preciso valore della frequenza.<br />
 
Altre considerazioni importanti, atte a chiarire il comportamento di un circuito che si trovi nelle particolari condizioni accennate, possono trarsi dalla condizione di risonanza scritta nella forma<br />
Dove col segno ''' →''' abbiamo voluto contrassegnare le grandezze vettoriali.
 
Assume perciò carattere di generalità l'affermazione che in un qualsiasi circuito a costanti concentrate cui sia applicata una ''f.e.m.'' sinusoidale di valore efficace ''E'', circola una corrente, anch'essa sinusoidale, di valore efficace:
 
{{equazione|id=26|eq=<math>\ I = {E \over Z}</math>}}
 
e la cui differenza di fase col vettore tensione è definita dalla relazione:
 
{{equazione|id=27|eq=<math>\ tg\ \phi = {X \over R}</math>}}
 
Lo sfasamento della corrente rispetto alla tensione è da intendersi in ritardo se nel calcolo della reattanza del circuito prevale la reattanza di autoinduzione, in anticipo nel caso in cui prevale la reattanza di capacità.
 
In ogni caso, poiché è:
 
{{equazione|id={}|eq=<math>\ X = \omega L-{1 \over \omega C}</math>}}
 
e
 
{{equazione|id={}|eq=<math>\ Z = \sqrt {R^2-X^2}</math>}}
 
si nota subito che la corrente, in un circuito che già contenga resistenza e induttanza, cresce quando si inserisce, in serie con gli anzidetti elementi, una capacità.
 
In particolare esistono un valore dell'induttanza e un valore della capacità per i quali, per una determinata frequenza, si perviene all'annullamento della reattanza.
 
In queste condizioni il circuito si comporta come puramente resistivo, pur non essendolo, e la corrente assume, in relazione alla ''f.e.m.'' applicata, il suo massimo valore, non intervenendo allora, che la sola resistenza a limitarla.
 
Questa particolare e importante condizione di funzionamento di un circuito prende il nome di condizione di risonanza.
 
Tale condizione è analiticamente esprimibile e si dirà che un circuito contenente induttanza, capacità e resistenza si trova in condizioni di risonanza quando per esso vale la relazione:
 
{{equazione|id={}|eq=<math>\ \omega L - {1 \over \omega C} = 0</math>}}
 
ed è manifesto, per la presenza della pulsazione '''ω''', che, fissati i valori di ''L'' e di ''C'' la condizione di risonanza sussiste solo per un ben preciso valore della frequenza.
 
Altre considerazioni importanti, atte a chiarire il comportamento di un circuito che si trovi nelle particolari condizioni accennate, possono trarsi dalla condizione di risonanza scritta nella forma
 
{{equazione|id={}|eq=<math>\ \omega L={1 \over \omega C}</math>}}
 
Da essa, infatti, moltiplicando primo e secondo membro per la corrente ''I'', si deduce immediatamente la relazione:<br />
 
{{equazione|id={}|eq=<math>\ \omega L I={1 \over \omega C}I</math>}}<br />
{{equazione|id={}|eq=<math>\ \omega L I={1 \over \omega C}I</math>}}
Si localizzano, cioè, ai capi dell'induttanza e della capacità due tensioni eguali tra loro in valore assoluto, la cui entità dipende direttamente dal valore della corrente.<br />
 
Poiché è, in queste condizioni:<br />
Si localizzano, cioè, ai capi dell'induttanza e della capacità due tensioni eguali tra loro in valore assoluto, la cui entità dipende direttamente dal valore della corrente.
{{equazione|id=|eq=<math>\ I = {E \over R}</math>}}<br />
 
sarà anche:<br />
Poiché è, in queste condizioni:
{{equazione|id=|eq=<math>\ V = \omega L{E \over R}= {1 \over \omega C}{E \over R}</math>}}<br />
 
il valore comune delle ''d.d.p.'' che si localizzano ai capi degli elementi reattivi di un circuito cui sia applicata dall'esterno una ''f.e.m.'' ''E''.<br />
{{equazione|id=|eq=<math>\ I = {E \over R}</math>}}
Si vede chiaramente che, per resistenza del circuito trascurabile, è possibile localizzare ai capi degli elementi reattivi notevoli differenze di potenziale, pur applicando dall'esterno ''f.e.m.'' di modesta entità.<br />
 
sarà anche:
 
{{equazione|id=|eq=<math>\ V = \omega L{E \over R}= {1 \over \omega C}{E \over R}</math>}}
 
il valore comune delle ''d.d.p.'' che si localizzano ai capi degli elementi reattivi di un circuito cui sia applicata dall'esterno una ''f.e.m.'' ''E''.
 
Si vede chiaramente che, per resistenza del circuito trascurabile, è possibile localizzare ai capi degli elementi reattivi notevoli differenze di potenziale, pur applicando dall'esterno ''f.e.m.'' di modesta entità.
 
Per questa ragione al fenomeno della risonanza in un circuito del tipo ''serie'' viene dato comunemente il nome di ''risonanza di tensione''.
 
====Circuiti derivati contenenti resistenza, induttanza e capacità====
 
Il caso di circuiti derivati, comunque complessi, può facilmente essere trattato a partire da un semplice circuito derivato quale quello in figura.
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[[File:IR and CR circuit in parallel.png]]
 
Sappiamo che a circuiti sottoposti a correnti variabili sono applicabili i due principi di Kirchoff a condizione che si faccia riferimento ai valori istantanei e che si considerino, come agenti nelle maglie, oltre alle ''f.e.m.'' applicate anche le cadute di potenziale ai capi delle resistenze e delle reattanze di autoinduzione e di capacità presenti nel circuito.<br />
 
Si può allora scrivere, per il nodo ''A'':<br />
Si può allora scrivere, per il nodo ''A'':
{{equazione|id={}|eq=<math>\ i = i_1 + i_2</math>}}<br />
 
e per le maglie ''A,L,R<sub>1</sub>,B,D'' e ''A,C,R<sub>2</sub>,D'', le due equazioni ormai note:<br />
{{equazione|id={}|eq=<math>\ ei =R_1 i_1 +L{d i_1 \over dt} i_2</math>}}<br />
 
{{equazione|id=|eq=<math>\ e=R_2 i_2+{1 \over C}i_2 dt </math>}}<br />
e per le maglie ''A,L,R<sub>1</sub>,B,D'' e ''A,C,R<sub>2</sub>,D'', le due equazioni ormai note:
Dove <br />
 
{{equazione|id=|eq=<math><br />
{{equazione|id=|eq=<math>\ e =R_1 E_mi_1+L{d i_1 sin\omegaover dt} t</math>}}<br />
 
Dalla seconda delle tre relazioni precedenti ricaviamo allora ''i<sub>1</sub>''; si ottiene<br />
{{equazione|id=|eq=<math>\ i_e=R_2 i_2+{E_m1 \over \sqrt {R_1^2+(\omega L)^2C}}\sini_2 (\omegadt t-arctg{\omega L \over R_1})</math>}}<br />
 
mentre dalla terza si ricava ''i<sub>2</sub>'', ottenendo<br />
Dove
{{equazione|id=|eq=<math>\ i_2 = {E_m \over \sqrt {R_1^2+({1 \over \omega C})^2}}\sin (\omega t+arctg{1 \over \omega C R_2})</math>}}<br />
 
Per la prima equazione la somma delle due correnti dà il valore della corrente erogata.<br />
{{equazione|id=|eq=<math>
Si ottiene, applicando il teorema di Carnot al triangolo delle correnti:<br />
 
{{equazione|id=|eq=<math>\ I_m^2 = I_{1m}^2 + I_{2m}^2 + 2 I_{1m} I_{2m}\cos (\phi_1-\phi_2)</math>}}<br />
\ e = E_m sin\omega t</math>}}
A mostrare l'estrema semplicità del metodo simbolico per calcoli di questo tipo, e a conferma di quanto già detto circa la convenienza di avere indiscriminatamente presenti tutti i metodi di calcolo a disposizione per l'analisi di circuiti sottoposti a grandezze alternative, applichiamo alla risoluzione di questo caso anche il metodo in questione.<br />
 
Si indichi con la notazione:<br />
Dalla seconda delle tre relazioni precedenti ricaviamo allora ''i<sub>1</sub>''; si ottiene
{{equazione|id=|eq=<math>\ \vec Y ={1 \over \vec Z}</math>}}<br />
 
l'inverso della impedenza di un circuito.<br />
{{equazione|id=|eq=<math>\ i_= {E_m \over \sqrt {R_1^2+(\omega L)^2}}\sin (\omega t-arctg{\omega L \over R_1})</math>}}
Questa grandezza assume il nome di ammettenza del circuito considerato ed è una grandezza complessa la cui unità di misura è il '''siemens'''.<br />
 
Le tre equazioni precedenti assumono allora la forma,<br />
mentre dalla terza si ricava ''i<sub>2</sub>'', ottenendo
{{equazione|id=|eq=<math>\ \vec I_1 + \vec I_2 = \vec I</math>}}<br />
 
{{equazione|id=|eq=<math>\ i_2 = {E_m \over \sqrt {R_1^2+({1 \over \omega C})^2}}\sin (\omega t+arctg{1 \over \omega C R_2})</math>}}
 
Per la prima equazione la somma delle due correnti dà il valore della corrente erogata.
 
Si ottiene, applicando il teorema di Carnot al triangolo delle correnti:
 
{{equazione|id=|eq=<math>\ I_m^2 = I_{1m}^2 + I_{2m}^2 + 2 I_{1m} I_{2m}\cos (\phi_1-\phi_2)</math>}}
 
A mostrare l'estrema semplicità del metodo simbolico per calcoli di questo tipo, e a conferma di quanto già detto circa la convenienza di avere indiscriminatamente presenti tutti i metodi di calcolo a disposizione per l'analisi di circuiti sottoposti a grandezze alternative, applichiamo alla risoluzione di questo caso anche il metodo in questione.
 
Si indichi con la notazione:
 
{{equazione|id=|eq=<math>\ \vec Y ={1 \over \vec Z}</math>}}
 
l'inverso della impedenza di un circuito.
 
Questa grandezza assume il nome di ammettenza del circuito considerato ed è una grandezza complessa la cui unità di misura è il '''siemens'''.
 
Le tre equazioni precedenti assumono allora la forma,
 
{{equazione|id=|eq=<math>\ \vec I_1 + \vec I_2 = \vec I</math>}}
 
{{equazione|id=|eq=<math>\ \vec I_1 = {\vec E \over \vec Z_1} = \vec E \vec Y_1</math>}}
{{equazione|id=|eq=<math>\ \vec I_2 = {\vec E \over \vec Z_2} = \vec E \vec Y_2</math>}}<br />
 
Poiché è, evidentemente,<br />
Poiché è, evidentemente,
{{equazione|id=|eq=<math>\ \vec Z_1 = R_1 + j\omega L</math>}}<br />
 
{{equazione|id=|eq=<math>\ \vec Z_2 = R_2 - j{1 \over \omega C}</math>}}<br />
{{equazione|id=|eq=<math>\ \vec Z_1 = R_1 + j\omega L</math>}}
noti gli elementi costitutivi del circuito, sono facilmente calcolabili le ammettenze dei due rami del circuito e, conseguentemente, i valori delle tre correnti incognite<br />
 
{{equazione|id=|eq=<math>\ \vec I,\vec I_1,\vec I_2 </math>}}<br />
{{equazione|id=|eq=<math>\ \vec Z_2 = R_2 - j{1 \over \omega C}</math>}}
È interessante notare che anche in circuiti del tipo ora esaminato la condizione di risonanza<br />
 
{{equazione|id=|eq=<math>\ \omega^2 L C = 1</math>}}<br />
noti gli elementi costitutivi del circuito, sono facilmente calcolabili le ammettenze dei due rami del circuito e, conseguentemente, i valori delle tre correnti incognite
determina, ove realizzata, una particolare condizione di funzionamento del sistema. Consideriamo, intero, il semplice circuito derivato precedentemente studiato e supponiamo trascurabili le resistenze '''R<sub>1</sub>''' e '''R<sub>2</sub>''' dei due rami in parallelo.<br />
 
E allora<br />
{{equazione|id=|eq=<math>\ I_{1m} = {E_m \overvec I,\omega L}vec I_1,\qquadvec \phi_1I_2 = {\pi \over 2}</math>}}<br />
 
{{equazione|id=|eq=<math>\ I_{2m} = \omega C E_m \qquad \phi_2 = -{\pi \over 2}</math>}}<br />
È interessante notare che anche in circuiti del tipo ora esaminato la condizione di risonanza
dalla<br />
 
{{equazione|id=|eq=<math>\ I_m = I_{1m}^2 + I_{2m}^2 + 2 I_{1m} I_{2m} cos(\phi_1 - \phi_2)</math>}}<br />
{{equazione|id=|eq=<math>\ \omega^2 L C = 1</math>}}
si ottiene in queste condizioni<br />
 
{{equazione|id=|eq=<math>\ I_m^2 = I_{1m}^2 + I_{2m}^2 - 2 I_{1m} I_{2m}</math>}}<br />
determina, ove realizzata, una particolare condizione di funzionamento del sistema. Consideriamo, intero, il semplice circuito derivato precedentemente studiato e supponiamo trascurabili le resistenze '''R<sub>1</sub>''' e '''R<sub>2</sub>''' dei due rami in parallelo.
ossia:<br />
 
{{equazione|id=|eq=<math>\ I_m^2 = (I_{1m}-I_{2m})^2</math>}}<br />
E allora
in condizioni di risonanza è, chiaramente:<br />
 
{{equazione|id=|eq=<math>\ I_{1m} = I_{2m}</math>}}<br />
{{equazione|id=|eq=<math>\ I_{1m} = {E_m \over \omega L} \qquad \phi_1 = {\pi \over 2}</math>}}
e quindi:<br />
 
{{equazione|id=|eq=<math>\ I_m = 0</math>}}<br />
{{equazione|id=|eq=<math>\ I_{2m} = \omega C E_m \qquad \phi_2 = -{\pi \over 2}</math>}}
il che significa che in un circuito derivato del tipo in figura la realizzazione della condizione di risonanza comporta la circolazione nei due rami di correnti per quanto intense con una erogazione di corrente, da parte della sorgente di energia, che, al limite (per resistenze trascurabili), può essere nulla.<br />
 
Al particolare fenomeno si dà usualmente il nome di risonanza di corrente.<br />
dalla
Non ci è possibile soffermarci sulle molteplici considerazioni, soprattutto energetiche, cui i circuiti studiati e le particolari loro condizioni che abbiamo indicato come condizioni di risonanza aprono la via.<br />
 
{{equazione|id=|eq=<math>\ I_m = I_{1m}^2 + I_{2m}^2 + 2 I_{1m} I_{2m} cos(\phi_1 - \phi_2)</math>}}
 
si ottiene in queste condizioni
 
{{equazione|id=|eq=<math>\ I_m^2 = I_{1m}^2 + I_{2m}^2 - 2 I_{1m} I_{2m}</math>}}
 
ossia:
 
{{equazione|id=|eq=<math>\ I_m^2 = (I_{1m}-I_{2m})^2</math>}}
 
in condizioni di risonanza è, chiaramente:
 
{{equazione|id=|eq=<math>\ I_{1m} = I_{2m}</math>}}
 
e quindi:
 
{{equazione|id=|eq=<math>\ I_m = 0</math>}}
 
il che significa che in un circuito derivato del tipo in figura la realizzazione della condizione di risonanza comporta la circolazione nei due rami di correnti per quanto intense con una erogazione di corrente, da parte della sorgente di energia, che, al limite (per resistenze trascurabili), può essere nulla.
 
Al particolare fenomeno si dà usualmente il nome di risonanza di corrente.
 
Non ci è possibile soffermarci sulle molteplici considerazioni, soprattutto energetiche, cui i circuiti studiati e le particolari loro condizioni che abbiamo indicato come condizioni di risonanza aprono la via.
 
Prima di abbandonare l'argomento è necessario, però, almeno notare che non esiste contrasto alcuno tra le condizioni di risonanza e il principio di conservazione dell'energia. Nelle condizioni di risonanza pura ('''R'''='''0''') infatti, il circuito assorbe energia solo nella fase iniziale, immagazzinandola, a seconda dei casi, sotto forma elettromagnetica o elettrostatica. In seguito, a regime, non si ha che un periodico trasferimento dell'energia immagazzinata dall'una all'altra forma.
 
====Circuiti affetti da mutua induzione====
 
Abbiamo sin ora esaminato il caso di circuiti percorsi da correnti alternate e contenenti resistenze, induttanze e capacità.
 
Dobbiamo ora esaminare il comportamento di quei circuiti che, contenendo gli stessi elementi in precedenza accennati, siano anche affetti da mutua induzione.
 
La loro importanza risulta chiara non appena si pensi che rientrano in questa categoria di circuiti i cosiddetti trasformatori il cui uso nel campo degli impianti elettrici è ben noto.
 
Trascurando, per necessità, il comportamento di circuiti consimili in fase transitoria all'atto dell'apertura o della chiusura del circuito, consideriamo il caso di due circuiti accoppiati per il tramite di una mutua induzione '''M''' in regime permanente sinusoidale.
 
Denominiamo '''primario''' il circuito connesso con il generatore di energia; '''secondario''' il circuito con esso induttivamente accoppiato per il tramite della mutua induzione '''M'''.
 
Con riferimento a quanto segnato in figura, siano '''r1, L1''' la resistenza e la induttanza primaria, '''r2=r'2+r<nowiki>''</nowiki>2''' e '''L2=L'2+L<nowiki>''</nowiki>2''' la resistenza e induttanza complessiva secondaria.
 
Abbiamo sin ora esaminato il caso di circuiti percorsi da correnti alternate e contenenti resistenze, induttanze e capacità.<br />
Dobbiamo ora esaminare il comportamento di quei circuiti che, contenendo gli stessi elementi in precedenza accennati, siano anche affetti da mutua induzione.<br />
La loro importanza risulta chiara non appena si pensi che rientrano in questa categoria di circuiti i cosiddetti trasformatori il cui uso nel campo degli impianti elettrici è ben noto.<br />
Trascurando, per necessità, il comportamento di circuiti consimili in fase transitoria all'atto dell'apertura o della chiusura del circuito, consideriamo il caso di due circuiti accoppiati per il tramite di una mutua induzione '''M''' in regime permanente sinusoidale.<br />
Denominiamo '''primario''' il circuito connesso con il generatore di energia; '''secondario''' il circuito con esso induttivamente accoppiato per il tramite della mutua induzione '''M'''.<br />
Con riferimento a quanto segnato in figura, siano '''r1, L1''' la resistenza e la induttanza primaria, '''r2=r'2+r<nowiki>''</nowiki>2''' e '''L2=L'2+L<nowiki>''</nowiki>2''' la resistenza e induttanza complessiva secondaria.<br />
[[File:Circuit with transformator.png]]
 
 
Supposte costanti le resistenze e le induttanze, propria e mutua, primarie e secondarie e con riferimento ai valori istantanei delle tensioni e delle correnti, è evidentemente:<br />
 
{{equazione|id=|eq=<math>\ v_1 = r_1 i_1+L_1 {d i_1 \over dt}+ M{d i_2 \over dt}</math>}}<br />
{{equazione|id=|eq=<math>\ 0v_1 = r_2 i_2r_1 i_1+ L_2L_1 {d i_2i_1 \over dt}+ M {d i_1i_2 \over dt}</math>}}<br />
 
nelle quali, per la ipotesi ammessa di sinusoidalità del regime permanente è:<br />
{{equazione|id=|eq=<math>\ v_10 = V_r_2 i_2 + L_2 {1md i_2 \over dt}+ sinM {d i_1 \omegaover tdt}</math>}}<br />
 
{{equazione|id=|eq=<math>\ i_1 = I_{1m} sin (\omega t- \alpha_1)</math>}}<br />
nelle quali, per la ipotesi ammessa di sinusoidalità del regime permanente è:
{{equazione|id=|eq=<math>\ i_2 = I_{2m} sin (\omega t- \alpha_2)</math>}}<br />
 
In tal modo è possibile risolvere il problema di esprimere le correnti in grandezza e fase; infatti sostituendo le espressioni della tensione e delle correnti nelle due equazioni dei circuiti queste si scindono in due equazioni indipendenti dando luogo a un sistema di quattro equazioni nelle quattro incognite '''I<sub>1m</sub>''', '''I<sub>2m</sub>''', '''α<sub>1</sub>''', '''α<sub>2</sub>'''.<br />
{{equazione|id=|eq=<math>\ v_1 = V_{1m} sin \omega t</math>}}
Più semplice risulta la soluzione del problema per il tramite del metodo simbolico.<br />
 
Le equazioni dei circuiti possono infatti semplicemente porsi nella forma<br />
{{equazione|id=|eq=<math>\ \vec V_1i_1 = (r_1I_{1m} +sin j x_1)(\vecomega I_1 + jt- \mu \vec I_2alpha_1)</math>}}<br />
 
{{equazione|id=|eq=<math>\ 0 = (r_2 + j x_2)\vec I_2 + j \mu \vec I_1</math>}}<br />
{{equazione|id=|eq=<math>\ i_2 = I_{2m} sin (\omega t- \alpha_2)</math>}}
ove si siano indicate con '''x<sub>1</sub>''', '''x<sub>2</sub>''', e '''μ''' rispettivamente le grandezze<br />
 
{{equazione|id=|eq=<math>\ \omega L_1 \qquad \omega L_2 \qquad \omega M </math>}}<br />
In tal modo è possibile risolvere il problema di esprimere le correnti in grandezza e fase; infatti sostituendo le espressioni della tensione e delle correnti nelle due equazioni dei circuiti queste si scindono in due equazioni indipendenti dando luogo a un sistema di quattro equazioni nelle quattro incognite '''I<sub>1m</sub>''', '''I<sub>2m</sub>''', '''α<sub>1</sub>''', '''α<sub>2</sub>'''.
Può allora ricavarsi dalla seconda la '''I<sub>2</sub>'''<br />
 
{{equazione|id=|eq=<math>\ \vec I_2 =\vec I_1{-j\mu \over r_2+j x_2}=\vec I_1{\mu x_2+j\mu r_2 \over r_2^2+x_2^2}</math>}}<br />
Più semplice risulta la soluzione del problema per il tramite del metodo simbolico.
e, sostituendo nella prima, ottenersi:<br />
 
{{equazione|id=|eq=<math>\ \vec V_1 = \vec I_1((r_1+{\mu^2 r_2 \over r_2^2+x_2^2})+j(x_1-{\mu^2 x_2 \over r_2^2+x_2^2}))</math>}}<br />
cheLe puòequazioni facilmentedei circuiti possono infatti semplicemente porsi nella forma:<br />
 
{{equazione|id=|eq=<math>\ \vec V_1 = \vec Z_{e1} \vec I_1</math>}}<br />
{{equazione|id=|eq=<math>\ \vec V_1 = (r_1 + j x_1)\vec I_1 + j \mu \vec I_2</math>}}
ove alle espressioni in parentesi a graffa si riconoscono le dimensioni di una impedenza.<br />
 
Si tratta però di una impedenza che contiene a lato degli elementi primari anche gli elementi del circuito secondario, per tale ragione essa assume il nome di '''impedenza primaria equivalente'''.<br />
{{equazione|id=|eq=<math>\ 0 = (r_2 + j x_2)\vec I_2 + j \mu \vec I_1</math>}}
Dalla posizione ora fatta risulta chiaramente<br />
 
{{equazione|id=|eq=<math>\ \vec E_{e1} = A + j B</math>}}<br />
ove si siano indicate con '''x<sub>1</sub>''', '''x<sub>2</sub>''', e '''μ''' rispettivamente le grandezze
con<br />
 
{{equazione|id=|eq=<math>\ A = r_1 +{\mu^2 r_2 \over r_2^2+ x_2^2} \qquad B = x_1 - {\mu^2 x_2 \over r_2^2+ x_2^2}</math>}}<br />
{{equazione|id=|eq=<math>\ \omega L_1 \qquad \omega L_2 \qquad \omega M </math>}}
Alcune considerazioni interessanti possono farsi sul comportamento dei circuiti mutuamente accoppiati propri a partire dalla espressione della impedenza primaria equivalente.<br />
 
È anzitutto chiaro che la impedenza primaria è nettamente influenzata dalla presenza del circuito secondario, nel senso di un aumento della resistenza e di una diminuzione della reattanza, riducendosi la reattanza primaria equivalente alla impedenza primaria quando per assenza o interruzione del circuito secondario possa porsi '''μ''' = 0.<br />
Può allora ricavarsi dalla seconda la '''I<sub>2</sub>'''
È infatti in questo caso<br />
 
{{equazione|id=|eq=<math>\ A=r_1 \qquad B=x_1</math>}}<br />
{{equazione|id=|eq=<math>\ \vec Z_I_2 =\vec I_1{e10-j\mu \over r_2+j x_2}=r_1\vec I_1{\mu x_2+j\mu x_1r_2 \over r_2^2+x_2^2}</math>}}<br />
 
E poiché nelle pratiche realizzazioni la resistenza primaria risulta sempre fortemente minore della reattanza primaria ne deriva che la impedenza a vuoto del trasformatore '''Z<sub>e10</sub>''' (a circuito secondario aperto) è sempre notevolmente maggiore della impedenza primaria equivalente in funzionamento a secondario chiuso.<br />
e, sostituendo nella prima, ottenersi:
Dalla equazione<br />
 
{{equazione|id=|eq=<math>\ \vec V_1 = \vec Z_{e1}\ \vec I_1</math>}}<br />
{{equazione|id=|eq=<math>\ \vec V_1 = \vec I_1((r_1+{\mu^2 r_2 \over r_2^2+x_2^2})+j(x_1-{\mu^2 x_2 \over r_2^2+x_2^2}))</math>}}
è, comunque, sempre possibile ricavare il valore efficace e la fase della corrente primaria.<br />
 
Infatti da essa si ricava:<br />
che può facilmente porsi nella forma:
{{equazione|id=|eq=<math>\ \vec I_1 = {\vec V_1 \over \vec Z_{e1}}= {\vec V_1 \over A+jB}=\vec V_1{A-jB \over A^2+B^2}</math>}}<br />
 
e quindi<br />
{{equazione|id=|eq=<math>\ \vec V_1 = \vec Z_{e1} \vec I_1</math>}}
 
ove alle espressioni in parentesi a graffa si riconoscono le dimensioni di una impedenza.
 
Si tratta però di una impedenza che contiene a lato degli elementi primari anche gli elementi del circuito secondario, per tale ragione essa assume il nome di '''impedenza primaria equivalente'''.
 
Dalla posizione ora fatta risulta chiaramente
 
{{equazione|id=|eq=<math>\ \vec E_{e1} = A + j B</math>}}
 
con
 
{{equazione|id=|eq=<math>\ A = r_1 +{\mu^2 r_2 \over r_2^2+ x_2^2} \qquad B = x_1 - {\mu^2 x_2 \over r_2^2+ x_2^2}</math>}}
 
Alcune considerazioni interessanti possono farsi sul comportamento dei circuiti mutuamente accoppiati propri a partire dalla espressione della impedenza primaria equivalente.
 
È anzitutto chiaro che la impedenza primaria è nettamente influenzata dalla presenza del circuito secondario, nel senso di un aumento della resistenza e di una diminuzione della reattanza, riducendosi la reattanza primaria equivalente alla impedenza primaria quando per assenza o interruzione del circuito secondario possa porsi '''μ''' = 0.
 
È infatti in questo caso
 
{{equazione|id=|eq=<math>\ A=r_1 \qquad B=x_1</math>}}
 
{{equazione|id=|eq=<math>\ \vec Z_{e10}=r_1+j x_1</math>}}
 
E poiché nelle pratiche realizzazioni la resistenza primaria risulta sempre fortemente minore della reattanza primaria ne deriva che la impedenza a vuoto del trasformatore '''Z<sub>e10</sub>''' (a circuito secondario aperto) è sempre notevolmente maggiore della impedenza primaria equivalente in funzionamento a secondario chiuso.
 
Dalla equazione
 
{{equazione|id=|eq=<math>\ \vec V_1 = \vec Z_{e1}\ \vec I_1</math>}}
è, comunque, sempre possibile ricavare il valore efficace e la fase della corrente primaria.
 
Infatti da essa si ricava:
 
{{equazione|id=|eq=<math>\ \vec I_1 = {\vec V_1 \over \vec Z_{e1}}= {\vec V_1 \over A+jB}=\vec V_1{A-jB \over A^2+B^2}</math>}}
 
e quindi
 
{{equazione|id=|eq=<math>\ I_1 = {V_1 \over \sqrt {A^2+B^2}}</math>}}
{{equazione|id=|eq=<math>\ tg\alpha _1={B \over A}</math>}}<br />
 
Dalla espressione della corrente <math>\ \vec I_2</math> in funzione della corrente <math>\ \vec I_1</math>, precedentemente riportata si ottiene poi il rapporto<br />
Dalla espressione della corrente <math>\ \vec I_2</math> in funzione della corrente <math>\ \vec I_1</math>, precedentemente riportata si ottiene poi il rapporto
{{equazione|id=|eq=<math>\ {I_2 \over I_1} = {\mu \over \sqrt {r^2+x^2}}</math>}}<br />
 
rapporto che si semplifica notevolmente se si ammette che la reattanza secondaria sia fortemente prevalente nella resistenza totale secondaria.<br />
{{equazione|id=|eq=<math>\ {I_2 \over I_1} = {\mu \over \sqrt {r^2+x^2}}</math>}}
Risulta, allora:<br />
 
{{equazione|id=|eq=<math>\ {\mu^2 \over r^2+x^2}={\mu^2 \over x^2}=({M \over L})^2={N_1^2 \over N_2^2 }</math>}}<br />
rapporto che si semplifica notevolmente se si ammette che la reattanza secondaria sia fortemente prevalente nella resistenza totale secondaria.
e in definitiva risulta:<br />
{{equazione|id=|eq=<math>\ {I_2 \over I_1}={N_1 \over N_2}</math>}}<br />
Risulta, allora:
Quanto alla differenza di fase relativa tra le due correnti primaria e secondaria la sua espressione corretta è:<br />
 
{{equazione|id=|eq=<math>\ \alpha_1-\alpha_2= arc tg{r_2 \over x_2}</math>}}<br />
{{equazione|id=|eq=<math>\ {\mu^2 \over r^2+x^2}={\mu^2 \over x^2}=({M \over L})^2={N_1^2 \over N_2^2 }</math>}}
nella ipotesi ora accennata essa risulta:<br />
 
{{equazione|id=|eq=<math>\ \alpha_1-\alpha_2=\pi</math>}}<br />
e in definitiva risulta:
Si rifletta ora al fatto che la ipotesi di chiara equivalenza della reattanza sulla resistenza complessiva secondaria risulta con fortissima approssimazione soddisfatta nelle condizioni nelle quali la resistenza secondaria si riduca alla sola resistenza propria dell'avvolgimento; vale a dire nelle condizioni di corto circuito secondario.<br />
 
Potremo allora affermare che: ''in tali condizioni le correnti primaria e secondaria di un trasformatore risultano tra loro in opposizione di fase e di ampiezza tale che il loro rapporto è uguale al rapporto inverso del numero delle spire''.<br />
{{equazione|id=|eq=<math>\ {I_2 \over I_1}={N_1 \over N_2}</math>}}
Riprendiamo ora in esame la equazione del circuito secondario in termini simbolici:<br />
 
{{equazione |id=|eq=<math>\ 0 = (r_2 + j x_2)\vec I_2 + j \mu \vec I_1</math>}}<br />
Quanto alla differenza di fase relativa tra le due correnti primaria e secondaria la sua espressione corretta è:
è chiaro che essa può scriversi:<br />
 
{{equazione |id=|eq=<math>\ j\mu \vec I_1 = -(r_2'+j \omega L_2')\vec I_2-(r_2''+j\omega L_2'')\vec I_2</math>}}<br />
{{equazione|id=|eq=<math>\ \alpha_1-\alpha_2= arc tg{r_2 \over x_2}</math>}}
ove si voglia porre in luce il fatto che la '''f.e.m.''' indotta nel secondario, <math>\ j \mu \vec I_1</math>, serve in parte a compensare la caduta interna dell'avvolgimento secondario, in parte a compensare la caduta nella impedenza esterna di utilizzazione.<br />
 
Aumentando la impedenza di utilizzazione, diminuisce, ovviamente, il valore della corrente <math>\ \vec I_2</math> e perciò gradualmente diminuisce la caduta di potenziale interno; per contro aumenta la caduta esterna che tende a diventare uguale alla '''f.e.m.''' di mutua induzione.<br />
nella ipotesi ora accennata essa risulta:
Al limite per <math>\ \vec I_2=0</math> (circuito secondario aperto) sarà:<br />
 
{{equazione|id=|eq=<math>\ \vec V_2=-j \mu \vec I_1</math>}}<br />
{{equazione|id=|eq=<math>\ \alpha_1-\alpha_2=\pi</math>}}
la tensione presente ai morsetti secondari.<br />
 
Quanto alla tensione primaria <math>\ \vec V_1=+j x_1 \vec I_1</math><br />
Si rifletta ora al fatto che la ipotesi di chiara equivalenza della reattanza sulla resistenza complessiva secondaria risulta con fortissima approssimazione soddisfatta nelle condizioni nelle quali la resistenza secondaria si riduca alla sola resistenza propria dell'avvolgimento; vale a dire nelle condizioni di corto circuito secondario.
qualora si immagini la resistenza primaria <math>\ r_1</math> trascurabile, in queste condizioni, rispetto alla reattanza primaria <math>\ x_1</math>.<br />
 
Potremo allora affermare che: ''in tali condizioni le correnti primaria e secondaria di un trasformatore risultano tra loro in opposizione di fase e di ampiezza tale che il loro rapporto è uguale al rapporto inverso del numero delle spire''.
 
Riprendiamo ora in esame la equazione del circuito secondario in termini simbolici:
 
{{equazione |id=|eq=<math>\ 0 = (r_2 + j x_2)\vec I_2 + j \mu \vec I_1</math>}}
 
è chiaro che essa può scriversi:
 
{{equazione |id=|eq=<math>\ j\mu \vec I_1 = -(r_2'+j \omega L_2')\vec I_2-(r_2''+j\omega L_2'')\vec I_2</math>}}
 
ove si voglia porre in luce il fatto che la '''f.e.m.''' indotta nel secondario, <math>\ j \mu \vec I_1</math>, serve in parte a compensare la caduta interna dell'avvolgimento secondario, in parte a compensare la caduta nella impedenza esterna di utilizzazione.
 
Aumentando la impedenza di utilizzazione, diminuisce, ovviamente, il valore della corrente <math>\ \vec I_2</math> e perciò gradualmente diminuisce la caduta di potenziale interno; per contro aumenta la caduta esterna che tende a diventare uguale alla '''f.e.m.''' di mutua induzione.
 
Al limite per <math>\ \vec I_2=0</math> (circuito secondario aperto) sarà:
 
{{equazione|id=|eq=<math>\ \vec V_2=-j \mu \vec I_1</math>}}
 
la tensione presente ai morsetti secondari.
 
Quanto alla tensione primaria <math>\ \vec V_1=+j x_1 \vec I_1</math>
 
qualora si immagini la resistenza primaria <math>\ r_1</math> trascurabile, in queste condizioni, rispetto alla reattanza primaria <math>\ x_1</math>.
 
Tutto ciò può esprimersi graficamente nel modo seguente:
 
[[File:Diagramma vettoriale delle tensioni a circuito aperto.png]]
 
Immaginando anche qui nullo il flusso disperso, si può scrivere ancora:<br />
{{equazione|id=|eq=<math>\ x_1 = \omega L_1=\omega K N_1^2 \qquad \mu=\omega M=\omega K M_1 N_2</math>}}<br />
Dalle quali, in concomitanza con le precedenti, risulta:<br />
{{equazione|id=|eq=<math>\ {V_1 \over V_2}={N_1 \over N_2}</math>}}<br />
ciò che può esprimersi dicendo che: ''nel funzionamento a vuoto di un trasformatore tensione primaria e secondaria risultano tra loro in opposizione di fase; le ampiezze stanno fra loro nel rapporto diretto del numero delle spire''.
 
{{equazione|id=|eq=<math>\ x_1 = \omega L_1=\omega K N_1^2 \qquad \mu=\omega M=\omega K M_1 N_2</math>}}
 
Dalle quali, in concomitanza con le precedenti, risulta:
 
{{equazione|id=|eq=<math>\ {V_1 \over V_2}={N_1 \over N_2}</math>}}
 
ciò che può esprimersi dicendo che: ''nel funzionamento a vuoto di un trasformatore tensione primaria e secondaria risultano tra loro in opposizione di fase; le ampiezze stanno fra loro nel rapporto diretto del numero delle spire''.
 
{{avanzamento|100%}}
[[Categoria:Elettrotecnica|Circuiti con resistenza]]
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