Algebra lineare e geometria analitica/Applicazioni lineari (esercizi)

Problema

Determinare se esiste una applicazione lineare $f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}$ tale che

$f\left({\begin{matrix}1\\0\\1\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}2\\1\\2\end{matrix}}\right)$

$f\left({\begin{matrix}1\\1\\1\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}0\\0\\1\end{matrix}}\right)$

$f\left({\begin{matrix}2\\1\\2\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}3\\1\\3\end{matrix}}\right)$

• Soluzione:

Si trova che i tre vettori del dominio sono linearmente dipendenti:

$\left({\begin{matrix}1\\0\\1\end{matrix}}\right)+\left({\begin{matrix}1\\1\\1\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}2\\1\\2\end{matrix}}\right)$

essendo l'applicazione f lineare si avra' (proprieta' additiva delle applicazioni lineari):

$f\left({\begin{matrix}2\\1\\2\end{matrix}}\right)=f\left({\begin{matrix}1\\0\\1\end{matrix}}\right)+f\left({\begin{matrix}1\\1\\1\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}2\\1\\2\end{matrix}}\right)+\left({\begin{matrix}0\\0\\1\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}2\\1\\3\end{matrix}}\right)\neq \left({\begin{matrix}3\\1\\3\end{matrix}}\right)$

il che e' una contraddizione. Si conclude che non esiste tale applicazione lineare.

Problema

Proviamo a cambiare le condizioni iniziali del problema precedente:

$f\left({\begin{matrix}1\\0\\1\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}2\\1\\2\end{matrix}}\right)$

$f\left({\begin{matrix}1\\1\\1\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}0\\0\\1\end{matrix}}\right)$

$f\left({\begin{matrix}2\\1\\2\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}2\\1\\3\end{matrix}}\right)$

• Soluzione:

Completiamo ad una base di R³ due qualsiasi dei vettori del dominio di f aggiungendo un vettore linearmente indipendente:

${\mathcal {B}}=\left\{\left({\begin{matrix}1\\0\\1\end{matrix}}\right),\left({\begin{matrix}1\\1\\1\end{matrix}}\right),\left({\begin{matrix}1\\0\\0\end{matrix}}\right)\right\}$

ponendo:

$f\left({\begin{matrix}1\\0\\0\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}a\\b\\c\end{matrix}}\right)$

$v=\alpha \left({\begin{matrix}1\\0\\1\end{matrix}}\right)+\beta \left({\begin{matrix}1\\1\\1\end{matrix}}\right)+\gamma \left({\begin{matrix}1\\0\\0\end{matrix}}\right)$

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